Soluzioni
  • Il nostro obiettivo è determinare il quoziente e il resto della divisione polinomiale

    (3 a^4 b^4-3 a b + 5):(a b -1)

    Per semplificare le notazioni poniamo x=ab, cosicché possiamo scrivere

    (3x^4-3x+5):(x-1)

    I polinomi dividendo e divisore sono ordinati secondo le potenze decrescenti di x, ma attenzione, il dividendo non è un polinomio completo, osserviamo infatti che non compaiono il termine al cubo e il termine quadratico. Non preoccupiamoci, al loro posto inseriremo degli zeri segnaposto.

    3x^4-3x+5=3x^4+0x^3+0x^2-3x+5

    Costruiamo la caratteristica tabella di Ruffini, ed inseriamo nella prima riga i coefficienti del polinomio.

    Per innescare la regola di Ruffini, dobbiamo inserire il termine noto del polinomio divisore cambiato di segno nella seconda riga e prima colonna

    \begin{array}{c|cccc|c}&3& 0&0&-3&5\\ &&&&&\\1&&&&&\\ \cline{1-6}&&&&&\end{array}

    Osserviamo come il termine noto del polinomio dividendo venga posto dopo la linea di separazione verticale.

    Il primo coefficiente della prima riga scende nella terza riga

    \begin{array}{c|cccc|c}&3& 0&0&-3&5\\ &&&&&\\1&&&&&\\ \cline{1-6}&3&&&&\end{array}

    Moltiplichiamo l'1 per 3 e riportiamo il risultato come in figura

    \begin{array}{c|cccc|c}&3& 0&0&-3&5\\ &&&&&\\1&&3&&&\\ \cline{1-6}&3&&&&\end{array}

    Sommiamo 0 e 3, riportando il risultato nella terza riga

    \begin{array}{c|cccc|c}&3& 0&0&-3&5\\ &&&&&\\1&&3&&&\\ \cline{1-6}&3&3&&&\end{array}

    Moltiplichiamo l'1 con il 3 e posizioniamo il risultato come in figura, e sommiamo

    \begin{array}{c|cccc|c}&3& 0&0&-3&5\\ &&&&&\\1&&3&3&&\\ \cline{1-6}&3&3&3&&\end{array}

    Ripetiamo nuovamente il procedimento: moltiplichiamo l'1 con il 3, riportiamo il risultato nella seconda riga e sommiamo quest'ultimo con l'elemento sopra di esso

    \begin{array}{c|cccc|c}&3& 0&0&-3&5\\ &&&&&\\1&&3&3&3&\\ \cline{1-6}&3&3&3&0&\end{array}

    Ancora una volta, moltiplichiamo l'1 per lo zero e riportiamone il risultato sotto il 5

    \begin{array}{c|cccc|c}&3& 0&0&-3&5\\ &&&&&\\1&&3&3&3&0\\ \cline{1-6}&3&3&3&0&5\end{array}

    Perfetto: l'algoritmo di Ruffini è concluso. Dobbiamo però estrapolare il polinomio quoziente e il polinomio resto.

    Concentriamoci esclusivamente nella terza riga. I numeri che sono compresi tra le due linee di separazione verticali sono i coefficienti numerici del polinomio quoziente, mentre il numero presente dopo la seconda linea di separazione è il polinomio resto. Possiamo scrivere che

    Q=3 x^3+3x^2+3x\mbox{ mentre }R=5

    Attenzione, non abbiamo ancora terminato, ricordiamo la sostituzione fatta: x=ab.

    \\ Q=3 (a b)^3+ 3 (ab)^2+3 (ab)= 3a^3b^3+3a^2b^2+3ab\\ \\ R=5

    Ora l'esercizio è terminato.

    Risposta di Ifrit
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