Soluzioni
  • Ciao Gio arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo il seguente sistema:

    \begin{cases}x^2+y^2-1=0\\ x^2+y^2-4x+k=0\end{cases}

    Sottraendo membro a membro otterremo il sistema equivalente a quello dato:

    \begin{cases}x^2+y^2-1=0\\ 4x-1-k=0\end{cases}

    Dalla seconda equazione otteniamo che:

    4x= 1+k\implies x= \frac{1+k}{4}

    Sostituendo nella prima:

    y^2+\frac{(1+k)^2}{16}-1=0

    da cui

    y^2= \frac{1}{16} (3-k)(5+k)

    Estraendo la radice membro a membro:

    |y|=\sqrt{\frac{1}{16}(3-k)(5+k)}

    Poiché l'esercizio ci dice che y\in [0, 1] allora devi pretendere che:

    0\le\sqrt{\frac{1}{16}(3-k)(5+k)}\le1

     

    che equivale al sistema:

    \begin{cases}\sqrt{\frac{1}{16}(3-k)(5+k)}\ge 0\\ \sqrt{\frac{1}{16}(3-k)(5+k)}\le 1\end{cases}

     

    Osserva che la prima disequazione è soddisfatta quando (3-k)(5+k)\ge 0, quindi il problema si riduce alla risoluzione della disequazione 

     

    \sqrt{\frac{1}{16} (3-k)(5+k)}\le 1

    Fin qui è tutto chiaro? Sapresti procedere da solo?

    Risposta di Ifrit
  • si ma per favore concludilo perchè quello che mi crea problemi è la discussione grafica... grz

    Risposta di
  • In pratica dobbiamo risolvere la disequazione:

    \sqrt{\frac{1}{16}(3-k)(5+k)}\le 1

    che equivale al sistema:

    \begin{cases}\frac{1}{16}(3-k)(5+k)\ge 0\\ \frac{1}{16}(3-k)(5+k)\le 1\end{cases}

    Risolviamo la prima disequazione:

    \frac{1}{16}(3-k)(5+k)\ge 0\implies (3-k)(5+k)\ge0\implies 15-2k-k^2\ge 0

    Consideriamo l'equazione associata:

    15-2k-k^2=0

    le cui soluzioni sono ovviamente:

    k_1= 3

    k_2= -5

    A questo punto osserviamo che le soluzioni della disequazioni sono interne:

    -5\le k\le 3

    Consideriamo la seconda disequazione:

    \frac{1}{16}(3-k)(5+k)\le 1

    che è equivalente a:

    (3-k)(5+k)\le 16

    scrivendola in forma canonica otteniamo:

    -1-2k-k^2\le 0

    ma osserva che:

    -1-2k-k^2= -(1+k)^2 

    di conseguenza la disequazione si riscrive come:

    -(1+k)^2\le 0

    che ha per soluzione l'insieme: 

    (-\infty, +\infty)

    Facendo l'intersezione tra gli insiemi determinati avremo la soluzione del sistema:

     

    S=\{x: -5\le k\le 3\}

     

    Quindi i punti di intersezione sono del tipo:

    x=\frac{1+k}{4} 

    y= \frac{1}{4}\sqrt{(3-k)(5+k)}

    con k\in [-5, 3]

     

    Spero di aver fatto bene i conti :|

    Risposta di Ifrit
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