Parametrizzare una curva dall'equazione con moduli

Nel caso in cui la curva assegnata sia

avremmo a che fare con il quadrato di vertici e quindi più che trovare una parametrizzazione converrebbe spezzare l'integrale curvilineo nella somma di quattro integrali (uno per ciascun lato).

I quattro lati di tale quadrato sono descritti dalle rette:

e le equazioni delle quattro rette forniscono già una parametrizzazione: basta considerare come parametro con intervallo di variabilità in modo tale che vengano descritti tutti i punti compresi tra i due estremi del segmento, cioè del lato.

Namasté!

In quel caso non devi fare proprio nulla:  la curva è descritta come luogo di punti , a denominatore hai ...si tratta semplicemente di capire quali sono gli intervalli di variabilità di , ma disegnando la figura non è difficile vedere che . L'integrale dà come risultato .

In alternativa (terribilmente macchinoso!), si procede proprio spezzando l'integrale

come somma di quattro integrali, ciascuno su uno dei lati del quadrato. In ciascun caso, possiamo specificare il segno dei termini a denominatore togliendo i valori assoluti (ogni segmento si trova in un quadrante ben definitio), dopodiché si sostituisce e con le corrisponenti espressioni che derivano dall'equazione della retta su cui giace il lato considerato.

Namasté!