Soluzioni
  • Ciao Lely91, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per calcolare l'integrale

    \int_{C}{[(x^2+y)dx+(xy)dy]}

    dove C:=\{x^2+y^2-4x+3=0\} ci servirà la formula di Gauss Green: chiamando D il dominio racchiuso da C (altri non è che una circonferenza, tra poco vediamo perché) e chiamando 

    g(x,y)dx+f(x,y)dy

    la forma differenziale considerata, la formula di Gauss Green ci permette di passare da un integrale curvilineo ad un integrale doppio, e viceversa, mediante le formule

    \int\int_{D}{f_{x}dxdy}=\int_{C}{fdy}

    \int\int_{D}{g_{y}dxdy}=-\int_{C}{gdx}

    dove f_{x},g_{y} indicano le derivate parziali di f,g rispettivamente rispetto a x,y.

    Nel nostro caso prendiamo

    fdy=xydy

    gdx=(x^2+y)dx

    Dunque possiamo scrivere

    \int_{C}{[(x^2+y)dx+(xy)dy]}=\int_{C}{(x^2+y)dx}+\int_{C}{(xy)dy]}=\mbox{(GG)}

    =-\int\int_{D}{1dxdy}+\int\int_{D}{ydxdy}

    Che cos'è D? E' il dominio racchiuso dalla curva C, che è una circonferenza: per vederlo, basta completare il quadrato relativo al termine in x

    x^2+y^2-4x+3=0

    aggiungiamo e sottraiamo un 4

    x^2+y^2-4x+4-4+3=0

    x^2-4x+4+y^2-1=0

    (x-2)^2+y^2=1

    ossia la circonferenza di centro (2,0) e raggio 1.

    Con gli integrali doppi come siamo messi? :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • il problema è che lo devo fare senza usare gli integrali doppi, perchè ancora alla spiegazione non siamo arrivati.

    cioè devo procedere parametrizzando la curva C e poi andando a sostituire la x e la y.

    Risposta di Lely91
  • Ok, in tal caso dopo aver osservato che la curva è una circonferenza, possiamo parametrizzarla passando ad un sistema di coordinate polari traslato:

    x-2=\rho\cos{(\theta)}

    y=\rho\sin{(\theta)}

    dove nel nostro caso \rho=1 mentre \theta\in [0,2\pi). Quindi

    x-2=\cos{(\theta)}

    y=\sin{(\theta)}

    e in particolare, passando ai differenziali, in accordo con il teorema di derivazione della funzione composta

    dx=-\sin{(\theta)}d\theta

    dy=\cos{(\theta)}d\theta

    La circonferenza viene descritta al variare del parametro \theta \in [0,2\pi) (in accordo con l'orientamento antiorario), dunque calcolare l'integrale di partenza equivale a calcolare

    \int_{0}^{2\pi}{[(2+\cos{(\theta)})^2+\sin{(\theta)}][-\sin{(\theta)}d\theta]+[\sin{(\theta)}(\cos{(\theta)}+2)][\cos{(\theta)}d\theta]}=

    ossia

    \int_{0}^{2\pi}{[-4\sin{(\theta)}-2\sin{(\theta)}\cos{(\theta)}-\sin^2{(\theta)}]d\theta}

    Che ne dici? :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie. tanto per chiarirmi i dubbi sulle parametrizzazioni se invece avessi avuto ad esempio |x|+|y|=1 come avrei dovuto fare?

    Risposta di Lely91
  • Nel caso in cui la curva assegnata sia

    C:=\{|x|+|y|=1\}

    avremmo a che fare con il quadrato di vertici (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1) e quindi più che trovare una parametrizzazione converrebbe spezzare l'integrale curvilineo nella somma di quattro integrali (uno per ciascun lato).

    I quattro lati di tale quadrato sono descritti dalle rette:

    y=-x+1

    y=x+1

    y=-x-1

    y=x-1

    e le equazioni delle quattro rette forniscono già una parametrizzazione: basta considerare come parametro x con intervallo di variabilità in modo tale che vengano descritti tutti i punti compresi tra i due estremi del segmento, cioè del lato.

    Namasté!

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi