Soluzioni
  • Ok: l'equazione di una retta in generale si può scrivere nella forma

    y=mx+q

    dove m è il coefficiente angolare della retta (esprime l'inclinazione rispetto all'asse delle ascisse) mentre q è l'ordinata all'origine, cioè l'ordinata in cui la retta incontra l'asse delle ordinate x=0.

    La condizione di parallelismo tra due rette consiste nel fatto che, dette esse r_1,r_2, abbiano lo stesso coefficiente angolare: se le due rette hanno equazioni

    r_1\mbox{: }y=m_1x+q_1

    r_2\mbox{: }y=m_2x+q_2

    allora sono parallele se vale m_1=m_2.

    La condizione di perpendicolarità tra rette richiede, invece, che i due coefficienti angolari siano l'uno il reciproco dell'opposto dell'altro: in parole povere, r_1,r_2 sono perpendicolari se

    m_1=-\frac{1}{m_2}.

    Per la condizione di tangenza, non ha molto senso parlare di tangenza tra due rette, perché nel caso in cui fossero tangenti dovrebbero necessariamente coincidere, ossia essere sovrapposte. Forse ti riferisci alla tangenza di una retta con un luogo geometrico di punti del piano qualsiasi?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Perfetto! Ne approfitto per un'altra domanda: ma il fascio di rette a cosa serve?

    Risposta di talpa
  • Un fascio di rette non nasce con lo scopo di essere usato per qualche cosa, è semplicemente un luogo di punti (nel piano cartesiano) che descrive una famiglia di rette.

    Ci sono due tipi di fasci di rette:

    - fascio proprio, ovvero tali per cui tutte le rette del fascio si intersecano in un punto detto "centro del fascio";

    - fascio improprio, in cui tutte le rette sono parallele;

    I modi in cui si può utilizzare un fascio di rette sono tantissimi: ad esempio (così mi ricollego all'altra parte del discorso :)) può capitare di dover trovare la retta passante per un punto C e tangente ad un luogo geometrico (ad esempio una circonferenza, o una parabola, o un'ellisse) di equazione \Gamma(x,y)=0.

    In tal caso, ciò che bisogna fare consiste nello scrivere l'equazione del fascio di rette passanti per il punto C assegnato e mettere a sistema l'equazione del fascio di rette, che indichiamo con F(x,y)=0 con l'equazione del luogo geometrico \Gamma(x,y)=0

    \left\{\begin{matrix}\Gamma(x,y)=0\\ F(x,y)=0\end{matrix}

    dall'equazione del fascio (in cui compaiono le incognite - o coordinate generiche x,y e un parametro t che individua tutte le rette del fascio) possiamo ricavare una delle due variabili x oppure y in termini dell'altra e del generico parametro t. Sostituendo questa espressione della variabile nell'equazione del luogo geometrico \Gamma(x,y)=0 otteniamo un'equazione di secondo grado di cui dobbiamo richiedere che il discriminante si annulli:

    \Delta=0

    dove il discriminante \Delta contiene il parametro t. L'annullamento del discriminante equivale proprio alla condizione di tangenza tra retta e luogo geometrico e risolvendo l'equazione che ne deriva si individua il valore del parametro t che, sostituito nell'equazione del fascio di rette, ci darà la retta tangente al luogo geometrico.

    Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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