Equazione goniometrica con archi associati

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Ciao! Vorrei capire come risolvere questa equazione goniometrica con gli archi associati. Riporto la traccia dell'esercizio..

 

Tenendo presente le proprietà degli archi complementari e degli archi associati trovare i valori dell'arco x che soddisfano la seguente uguaglianza!

 

cos(3x-20^o)-sin(30^o-2x) = 0

 

Il risultato del libro è: x = k·360^o+80^o; k·72^o-8^o. Grazie mille!

Domanda di JohnnyR

 
Soluzioni

  • Ok, allora, cerco di spiegarti come funziona la faccenda.

    Abbiamo l'equazione goniometrica

    cos(3x-20^o)-sin(30^o-2x) = 0

    Il trucco è utilizzare gli archi associati in modo di trasformare l'equazione precedente nella forma

    cos(f(x)) = cos(g(x))

    oppure nella forma

    sin(f(x)) = sin(g(x))

    a seconda delle nostre preferenze per la successiva risoluzione.

    Io preferisco portarla nella forma coseno= coseno.

     

    Ricorda in particolare che:

    sin(90^o-t) = cos(t)

    (nel formulario del precedente link trovi tutte le altre formule).

     

    cos(3x-20^o)-sin(30^o-2x) = 0

    Il nostro intento è utilizzare la formula suscritta per trasformare il seno in coseno:

    sin(30^o-2x) = sin(30^o+60^o-60^o-2x) =

    = sin(90^o-(2x+60^o)) = cos(2x+60^o)

    Dal primo al secondo passaggio ho sommato 60 gradi per poter utilizzare la precedente formula.

    La nostra equazione di partenza si scrive come:

    cos(3x-20^o)-cos(2x+60^o) = 0

    Da cui

    cos(3x-20^o) = cos(2x+60^o)

    Ottimo abbiamo raggiunto la forma che desideravamo!

    Le soluzioni di questa equazione sono date da:

    3x-20^o = 2x+60^o+360^o k ∨ 3x-20^o = -2x-60^o+360^o k

    Dalla prima equazione ottengo:

    x = 60^o+20^o+360^ok = 80^o+360^o k

    Dalla seconda equazione ottengo:

    3x+2x = -60^o+20^o+360^o k → 5x = -40^o+360^o k

    Da cui

    x = -8^o+72^o k

     

    Spero sia chiaro :D

    Risposta di Ifrit
 
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