Equazione goniometrica con archi associati

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Ciao! Vorrei capire come risolvere questa equazione goniometrica con gli archi associati. Riporto la traccia dell'esercizio..

 

Tenendo presente le proprietà degli archi complementari e degli archi associati trovare i valori dell'arco x che soddisfano la seguente uguaglianza!

 

\cos(3x-20^o)-\sin(30^o-2x)=0

 

Il risultato del libro è: x=k\cdot 360^o+80^o;\ k\cdot 72^o-8^o. Grazie mille!

Domanda di JohnnyR

 
Soluzioni

  • Ok, allora, cerco di spiegarti come funziona la faccenda.

    Abbiamo l'equazione goniometrica

    \cos(3x-20^o)-\sin(30^o-2x)=0

    Il trucco è utilizzare gli archi associati in modo di trasformare l'equazione precedente nella forma

    \cos(f(x))= \cos(g(x))

    oppure nella forma

    \sin(f(x))=\sin(g(x))

    a seconda delle nostre preferenze per la successiva risoluzione.

    Io preferisco portarla nella forma coseno= coseno.

     

    Ricorda in particolare che:

    \sin(90^o-t)= \cos(t)

    (nel formulario del precedente link trovi tutte le altre formule).

     

    \cos(3x-20^o)-\sin(30^o-2x)=0

    Il nostro intento è utilizzare la formula suscritta per trasformare il seno in coseno:

    \sin(30^o-2x)= \sin(30^o+60^o-60^o-2x)=

    =\sin(90^o-(2x+60^o))=\cos(2x+60^o)

    Dal primo al secondo passaggio ho sommato 60 gradi per poter utilizzare la precedente formula.

    La nostra equazione di partenza si scrive come:

    \cos(3x-20^o)-\cos(2x+60^o)=0

    Da cui

    \cos(3x-20^o)= \cos(2x+60^o)

    Ottimo abbiamo raggiunto la forma che desideravamo!

    Le soluzioni di questa equazione sono date da:

    3x-20^o=2x+60^o+360^o k\ \vee\ 3x-20^o= -2x-60^o+360^o k

    Dalla prima equazione ottengo:

    x= 60^o+20^o+360^ok= 80^o+360^o k

    Dalla seconda equazione ottengo:

    3x+2x=-60^o+20^o+360^o k\ \to\ 5x= -40^o+360^o k

    Da cui

    x= -8^o+72^o k

     

    Spero sia chiaro :D

    Risposta di Ifrit
 
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