Perimetro di un triangolo con la Trigonometria

Chiamiamo i lati, gli angoli e le misure dei lati con la solita convenzione: e conoscendo due lati e l'area del triangolo, possiamo ricorrere alla formula trigonometrica dell'area di un triangolo. Sia l'area del triangolo, allora

Per determinare il valore di facciamo uso delle formule inverse:

dove nell'ultimo passaggio abbiamo semplificato. Grazie all'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche), ricaviamo il coseno del medesimo angolo

Prendiamo il coseno con segno positivo perché il protagonista dell'esercizio è un triangolo e in quanto tale i suoi angoli interni non possono superare i 180°, ricordiamo infatti che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è 180°, ossia un angolo piatto.

Possiamo quindi asserire senza ombra di dubbio che , pertanto .

Ora possiamo determinare la misura del terzo lato grazie al teorema di Carnot (o teorema del coseno)

da cui estraendo la radice quadrata di entrambi i membri

dove nel penultimo passaggio abbiamo utilizzato le proprietà dei radicali.

Grazie al terzo lato, possiamo calcolare il perimetro del triangolo

Calcoliamo il semiperimetro, ci servirà per determinare il raggio della circonferenza inscritta.

Grazie alla formula

scopriamo che il raggio della circonferenza inscritta vale

Eseguiamo una razionalizzazione, moltiplicando e dividendo per

Mettiamo in evidenza il fattore comune 8 e semplifichiamo con il 40 al numeratore

Il raggio della circonferenza circoscritta si calcola con una nota formula del triangolo