Soluzioni
  • Chiamiamo i lati, gli angoli e le misure dei lati con la solita convenzione: BC,\ AC,\ AB, \alpha,\ \beta,\ \gamma, a,\ b, \ c e conoscendo due lati e l'area del triangolo, possiamo ricorrere alla formula trigonometrica dell'area di un triangolo. Sia A_{ABC} l'area del triangolo, allora

    A_{ABC}=\frac{1}{2}ab\sin(\gamma)

    Per determinare il valore di \sin(\gamma) facciamo uso delle formule inverse:

    \sin(\gamma)=\frac{2 A_{ABC}}{ab}=\frac{80}{96}=\frac{5}{6}

    dove nell'ultimo passaggio abbiamo semplificato. Grazie all'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche), ricaviamo il coseno del medesimo angolo

    \cos(\gamma)=\pm \sqrt{1-\sin^2(\gamma)}

    Prendiamo il coseno con segno positivo perché il protagonista dell'esercizio è un triangolo e in quanto tale i suoi angoli interni non possono superare i 180°, ricordiamo infatti che la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è 180°, ossia un angolo piatto.

    Possiamo quindi asserire senza ombra di dubbio che 0^{\circ}<\gamma<180^{\circ}, pertanto \cos(\gamma)>0.

    \cos(\gamma)=\sqrt{1-\frac{25}{36}}=\frac{\sqrt{11}}{6}

    Ora possiamo determinare la misura del terzo lato grazie al teorema di Carnot (o teorema del coseno)

    c^2=a^2+b^2-2 ab \cos(\gamma)=292-32\sqrt{11}\mbox{ cm}^2

    da cui estraendo la radice quadrata di entrambi i membri

    \\ c=\sqrt{292-32\sqrt{11}}=\sqrt{4 (73-8\sqrt{11})}\mbox{ cm}=\\ \\=\sqrt{4}\sqrt{73-8\sqrt{11}}\mbox{ cm}=2\sqrt{73-8\sqrt{11}}\mbox{ cm}

    dove nel penultimo passaggio abbiamo utilizzato le proprietà dei radicali.

    Grazie al terzo lato, possiamo calcolare il perimetro del triangolo

    \\ 2p=a+b+c=6\mbox{ cm}+16\mbox{ cm}+2\sqrt{73-8\sqrt{11}}\mbox{ cm}=\\ \\=22+2\sqrt{73-8\sqrt{11}}\mbox{ cm}=\\ \\=2 (11+\sqrt{73-8\sqrt{11}})\mbox{ cm}

    Calcoliamo il semiperimetro, ci servirà per determinare il raggio della circonferenza inscritta.

    \\ p=\frac{2p}{2}=\frac{2(11+\sqrt{73-8\sqrt{11}})}{2}\mbox{ cm}=\\ \\ \\=11+\sqrt{73-8\sqrt{11}}

    Grazie alla formula

    R_{in}=\frac{A_{ABC}}{p}

    scopriamo che il raggio della circonferenza inscritta vale

    R_{in}=\frac{40\mbox{ cm}^2}{11+\sqrt{73-8\sqrt{11}}\mbox{ cm}}=

    Eseguiamo una razionalizzazione, moltiplicando e dividendo per 11-\sqrt{73-8\sqrt{11}}

    =\frac{40 (11-\sqrt{73-8\sqrt{11}})}{48+8\sqrt{11}}\mbox{ cm}=

    Mettiamo in evidenza il fattore comune 8 e semplifichiamo con il 40 al numeratore

    =\frac{5(11-\sqrt{73-8\sqrt{11}})}{6+\sqrt{11}}\mbox{ cm}

    Il raggio della circonferenza circoscritta si calcola con una nota formula del triangolo

    \\ R_{circ}=\frac{abc}{4A_{ABC}}=\frac{6\cdot 16\cdot 2\sqrt{73-8\sqrt{11}}}{4\cdot 40}\mbox{ cm}=\\ \\ \\=\frac{6}{5}\sqrt{73-8\sqrt{11}}\mbox{ cm}

    Risposta di Ifrit
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