Soluzioni
  • Il nostro compito consiste nel calcolare il minimo comune multiplo dei polinomi

    1-a^{2n}\ \ \ ; \ \ \ 1+a^n\ \ \ ; \ \ \ 1-a^n

    caratterizzati dalla presenza delle lettere agli esponenti: sia chiaro che questa caratteristica non modifica in alcun modo i passaggi da seguire.

    La prima cosa da fare è scomporre i polinomi in fattori irriducibili, usando le dovute tecniche di scomposizione tra cui ricordiamo: la fattorizzazione con i prodotti notevoli, la tecnica di raccoglimento totale o ancora quella di raccoglimento parziale. Ricordiamo infine la regola di Ruffini, che rappresenta un'ancora di salvezza nel caso in cui non sia possibile utilizzare le tecniche precedenti.

    Procediamo con la scomposizione dei tre polinomi, iniziando dal primo

    1-a^{2n}=

    In virtù della regola sulle potenze di potenze, letta al contrario, possiamo esprimere a^{2n} come il quadrato di a^n, ricavando così la differenza di quadrati

    =1-(a^n)^2=

    che si decompone come il prodotto tra la somma e la differenza di 1\ \mbox{e} \ a^n

    =(1+a^n)(1-a^n)

    Non possiamo procedere oltre, perché non conosciamo l'effettivo valore del parametro n.

    Prendiamoci un momento per analizzare il secondo polinomio

    1+a^n

    Proprio perché non conosciamo il valore attribuito a n non possiamo scomporlo ulteriormente. Possiamo dire lo stesso per il terzo polinomio

    1-a^n

    che lo lasciamo così com'è.

    A questo punto ricordiamo cos'è il minimo comune multiplo tra polinomi: è il polinomio che si ottiene moltiplicando i fattori comuni e non comuni delle scomposizioni, presi una sola volta e con il più grande esponente. Siamo pertanto autorizzati a concludere che il m.c.m. dei polinomi dati è:

    mcm=(1-a^n)(1+a^n)

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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