Dimostrazione con bisettrice e basi di un trapezio

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Buon pomeriggio! Ho difficoltà con una dimostrazione sulla bisettrice e sulle basi di un trapezio, non ho idea di come si possa fare.

 

Nel trapezio ABCD prolunga i lati obliqui AD e BC fino a che si incontrano nel punto P. Dimostra che la bisettrice dell'angolo APB divide ognuna delle basi del trapezio in segmenti direttamente proporzionali ai lati obliqui.

 

Una volta fatta la figura sul quaderno, non riesco a dimostrare la tesi che tra l'altro non l'ho nemmeno capita, grazie. :)

Domanda di Lucabig

 
Soluzioni

  • Ciao Lucabig, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per risolvere l'esercizio, è sufficiente applicare uno dei criteri di similitudine tra triangoli, in particolare il criterio per il quale due triangoli sono simili (vale a dire, hanno i lati corrispettivi proporzionali) se hanno i rispettivi angoli congruenti.

    Consideriamo i triangoli ABP, DCP. Essi sono simili in quanto:

    - coincidono gli angoli APB = DPC (sono sovrapposti)

    - coincidono gli angoli PAB = PDC (angoli corrispondenti)

    - coincidono gli angoli ABP = DCP (angoli corrispondenti)

    Quindi i due triangoli considerati sono simili: se ora osserviamo che la bisettrice uscente dal vertice P divide l'angolo APB in due angoli uguali, basterà osservare con un ragionamento del tutto analogo che sono simili le coppie di triangoli a sinistra e a destra della bisettrice, dunque hanno i lati ordinatamente proporzionali, ossia la tesi.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Grazie Omega, tutto ok, chiarissimo come sempre! :)

    Risposta di Lucabig
 
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