Soluzioni
  • Ciao Elena85, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Ti chiedo solamente due specifiche:

    1) f è da ritenersi una funzione di \mathbb{L}^2(\Omega) ?

    2) Da dove proviene il dubbio?

    Se la risposta alla prima domanda fosse affermativa, i.e. se f\in \mathbb{L}^2(\Omega), nota che per definizione

    \int_{\Omega}{|f|^2d\mu}\textless \infty

    D'altra parte, per definizione di parte positiva f^{+} di f abbiamo che

    f^{+}(x):=\left\{\begin{matrix}f(x)&f(x)> 0\\ 0&\mbox{ altrimenti}\end{matrix}

    definendo in modo analogo la parte negativa f^{-} di f

    f^{-}(x):=\left\{\begin{matrix}-f(x)&f(x)\textless 0\\ 0&\mbox{ altrimenti}\end{matrix}

    possiamo scrivere la funzione f nella forma

    f=f^{+}-f^{-}

    dove f^{+},f^{-} sono positive. In particolare

    |f|=f^{+}+f^{-}

    da cui

    |f|^2=(f^{+})^2+(f^{-})^2+2f^{+}f^{-}

    i.e.

    |f|^2=(f^{+})^2+(f^{-})^2

    da cui segue

    [f^{+}(x)]^2\textless [f(x)^{2}]^2

    e quindi f^{+}\in \mathbb{L}^(\Omega).

    Namasté!

    Risposta di Omega
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