La parte positiva di una funzione appartiene a L2 ?

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Ciao! Ho bisogno di un vostro prezioso aiuto: è vero che la parte positiva di una funzione non sta in L2? Come si dimostra?

Grazie! Elena

Domanda di elena85

 
Soluzioni

  • Ciao Elena85, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega

  • Ti chiedo solamente due specifiche:

    1) f è da ritenersi una funzione di L^2(Ω) ?

    2) Da dove proviene il dubbio?

    Se la risposta alla prima domanda fosse affermativa, i.e. se f∈ L^2(Ω), nota che per definizione

    ∫_(Ω)|f|^2dμ < ∞

    D'altra parte, per definizione di parte positiva f^(+) di f abbiamo che

    f^(+)(x): = f(x) f(x) > 0 ; 0 altrimenti

    definendo in modo analogo la parte negativa f^(-) di f

    f^(-)(x): = -f(x) f(x) < 0 ; 0 altrimenti

    possiamo scrivere la funzione f nella forma

    f = f^(+)-f^(-)

    dove f^(+),f^(-) sono positive. In particolare

    |f| = f^(+)+f^(-)

    da cui

    |f|^2 = (f^(+))^2+(f^(-))^2+2f^(+)f^(-)

    i.e.

    |f|^2 = (f^(+))^2+(f^(-))^2

    da cui segue

    [f^(+)(x)]^2 < [f(x)^(2)]^2

    e quindi f^(+)∈ L^(Ω).

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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