Soluzioni
  • Imponiamo le condizioni di appartenenza.

    Consideriamo una generica circonferenza e scriviamone l'equazione (uso a, b e c al posto di alfa beta e gamma)

    \Gamma: x^2+y^2+a x+b y+c=0

    La prima equazione del sistema che prenderemo in considerazione è quella che si ottiene imponendo il passaggio per P_1

    P_1(0,0)\in \Gamma\iff c=0 \mbox{ prima equazione }

    Poi consideriamo l'equazione che si ricava con il passaggio per P_2

    P_2(-1,4)\in \Gamma\iff (-1)^2+4^2+a(-1)+b\cdot ( 4)+c=0\iff -a+4b +c=-17

    ed infine, con P_3

    P_3(2,-3)\in \Gamma\iff 2^2+(-3)^2+2a+b\cdot ( -3)+c=0\iff 2a-3b +c=-13

    Abbiamo quindi il sistema (si tratta di un sistema lineare):

    \begin{cases}c=0\\-a+4b+c=-17\\2a+b+c=-13 \end{cases}

    e lo risolviamo con il metodo di Cramer.

    La matrice dei coefficienti è

    A=\begin{pmatrix}0&0&1\\ -1&4&1\\2&-3&1\end{pmatrix}

    Calcoli il determinante della matrice con la regola di Sarrus:

    \mbox{det}(A)=-5

    Adesso utilizziamo il metodo di Cramer per il calcolo delle incognite, a, b, c:

    a= \frac{\det\begin{pmatrix}0&0&1\\ -17&4&1\\-13&-3&1\end{pmatrix}}{\det(A)}=\frac{103}{-5}=-\frac{103}{5}

    b= \frac{\det\begin{pmatrix}0&0&1\\ -1&-17&1\\2&-13&1\end{pmatrix}}{\det(A)}=\frac{47}{-5}=-\frac{47}{5}

    c= \frac{\det\begin{pmatrix}0&0&0\\ -1&4&-17\\2&-3&-13\end{pmatrix}}{\det(A)}=\frac{0}{-5}

    Pertanto l'equazione della circonferenza è:

    x^2+y^2-\frac{103}{5}x-\frac{47}{5}y=0

    Minimo comune multiplo:

    5x^2+5y^2-103x-47y=0

    e abbiamo finito! ;)

    Risposta di Ifrit
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