Problema con circonferenza e metodo di Cramer

Question

Mi spiegate come applicare il metodo di Cramer per risolvere un esercizio sulla circonferenza? Devo scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti (0;0), (-1;4), (2;-3). Ho sostituito i valori di x e y nell'equazione di una circonferenza generica x^2+y^2+α x+β y+γ = 0 Poi però la prof vuole che risolviamo il sistema a tre incognite con il metodo di Cramer. Non me lo ricordavo benissimo ma ho cercato su internet e l'ho fatto, il problema è che non mi viene il risultato del libro che è 5x^2+5y^2-103x-47y = 0. Magari ho sbagliato il procedimento? Grazie! :)

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Imponiamo le condizioni di appartenenza. Consideriamo una generica circonferenza e scriviamone l'equazione (uso a, b e c al posto di alfa beta e gamma) Γ: x^2+y^2+a x+b y+c = 0 La prima equazione del sistema che prenderemo in considerazione è quella che si ottiene imponendo il passaggio per P_1 P_1(0,0)∈ Γ ⇔ c = 0 prima equazione Poi consideriamo l'equazione che si ricava con il passaggio per P_2 P_2(-1,4)∈ Γ ⇔ (-1)^2+4^2+a(-1)+b·(4)+c = 0 ⇔ -a+4b+c = -17 ed infine, con P_3 P_3(2,-3)∈ Γ ⇔ 2^2+(-3)^2+2a+b·(-3)+c = 0 ⇔ 2a-3b+c = -13 Abbiamo quindi il sistema (si tratta di un sistema lineare): c = 0 ;-a+4b+c = -17 ; 2a+b+c = -13 e lo risolviamo con il metodo di Cramer. La matrice dei coefficienti è A = [0 0 1 ;-1 4 1 ; 2 -3 1] Calcoli il determinante della matrice con la regola di Sarrus: det(A) = -5 Adesso utilizziamo il metodo di Cramer per il calcolo delle incognite, a, b, c: a = (det[0 0 1 ;-17 4 1 ;-13 -3 1])/(det(A)) = (103)/(-5) = -(103)/(5) b = (det[0 0 1 ;-1 -17 1 ; 2 -13 1])/(det(A)) = (47)/(-5) = -(47)/(5) c = (det[0 0 0 ;-1 4 -17 ; 2 -3 -13])/(det(A)) = (0)/(-5) Pertanto l'equazione della circonferenza è: x^2+y^2-(103)/(5)x-(47)/(5)y = 0 Minimo comune multiplo: 5x^2+5y^2-103x-47y = 0 e abbiamo finito! ;)