Soluzioni
  • Ci serviranno le formule della circonferenza, quindi ti suggerisco di tenere a portata di mano il formulario del link.

    Abbiamo il centro e il raggio della prima circonferenza quindi possiamo determinare l'equazione che la descrive.

    (x-x_0)^2+(y-y_0)^2= r^2 

    dove (x_0, y_0) sono le coordinate del centro, r è il raggio.

    (x-3)^2+y^2= 3^2

    Da ciò segue che:

    x^2-6x+9+y^2-9=0

    \Gamma_1: x^2+y^2-6x=0

    Per la seconda circonferenza conosciamo il centro e un punto per il quale passa. Possiamo calcolare la distanza Centro-Punto usando la formula per la distanza tra due punti, esso rappresenterà il raggio :D

    r'=AC'= \sqrt{(-3-0)^2+(3-3)^2}= \sqrt{9}=3

    Abbiamo il centro e il raggio! Applichiamo la formula scritta in precedenza:

    \Gamma_2: (x-0)^2+(y-3)^2= 3^2

    L'equazione è:

    \Gamma_2: x^2+y^2-6y+9-9=0\implies x^2+y^2-6y=0

    Per trovare i punti di intersezione impostiamo il sistema:

    \begin{cases}x^2+y^2-6x=0\\ x^2+y^2-6y=0\end{cases}

    Sottraendo membro a membro otteniamo una nuova equazione:

    -6x+6y=0

    Sostituiamo nel sistema:

    \begin{cases}x^2+y^2-6x=0\\ -6x+6y=0\end{cases}

    Dalla seconda equazione abbiamo che:

    -6x=-6y\implies x=y

    Quindi il sistema si riscrive come:

    \begin{cases}x^2+y^2-6x=0\\ x=y\end{cases}

    Se al posto di y scriviamo x nella prima equazione,  avremo la cosiddetta equazione di secondo grado risolvente:

    x^2+x^2-6x=0\implies 2x^2-6x=0

    Abbiamo ottenuto una equazione di secondo grado spuria, avremo quindi due soluzioni una delle quali sicuramente nulla:

    2x^2-6x=0\iff x(2x-6)=0\iff x=0\vee 2x-6=0

    La prima soluzione è quindi:

    x=0

    Pertanto anche y=0

    La seconda soluzione della equazione è data dalla risoluzione:

    2x-6=0\implies 2x=6\implies x=3

    di conseguenza anche y=3

    I punti di intersezione sono:

    P_1(0,0), P_2(3, 3).

    Risposta di Ifrit
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