Esercizio di verifica dei sottospazi

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Algebra Lineare

Avrei innanzitutto da chiedervi la spiegazione per un esercizio sulla verifica di sottospazi: verificare che V e W sono sottospazi di R^4 e determinare una loro base.

 

V = (0,a,c,d) | a,c,d ∈ R

W = (q,p,q,r) | p,q,r ∈ R

 

Poi avrei un esercizio sulla verifica della linearità di un'applicazione lineare: verificare che la seguente applicazione f è lineare

 

f:R^3 → R^2 t.c. f(x,y,z) = (x+2y+z , y+z)

 

Grazie mille

Domanda di 904

 
Soluzioni

  • Ciao 904 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Sia V che W soddisfano gli assiomi che definiscono il sottospazio vettoriale:

    Dobbiamo dimostrare che:

    V è chiuso rispetto all'operazione somma:

    v_1, v_2∈ V ⇒ v_1+v_2∈ V

    Poiché in V ci stanno vettori della forma (0, a, c,d) allora necessariamente:

    v_1 = (0, a_1, c_1, d_1) a_1, b_1, c_1∈ R

    v_2 = (0, a_2, c_2, d_2) a_2, b_2, c_2∈ R

    Di conseguenza la somma:

    v_1+ matbfv_2 = (0, a_1+a_2, b_1+b_2, d_1+d_2)

    Poiché

    a_1+a_2, b_1+b_2, d_1+d_2∈ R

    allora 

    Il vettore somma rispetta la caratteristica dei vettori che vivono in V,  la somma vi appartiene!

    V è chiuso rispetto all'operazione prodotto per uno scalare:

    Siano

    •λ ∈R

    • v∈ V

    quello che dobbiamo dimostrare è che:

    λ v∈ V.

    Poiché v∈ V allora sarà della forma:

    v = (0, a, b, d)

    conseguentemente:

    λ v = λ(0, a, b, d) = (0, λ a, λ b, λ d)

    Ora:

    λ a, λ b, λ d∈ R

    Il vettore λ v∈ V quindi l'insieme è chiuso rispetto alla operazione prodotto per uno scalare.

    Determiniamo una base:

    Osserviamo che:

    (0, a, b,d) = a(0, 1, 0,0)+b(0, 0, 1, 0)+d(0, 0, 0, 1)

    Possiamo prendere come base i vettori che compaiono:

    B_V = (0,1,0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1)

     

    L'esercizio con W è praticamente identico al precedente! :P

     

    Per verificare che f è lineare puoi procedere utilizzando la definizione:

    Siano v = (x, y, z), v_1 = (x_1, y_1, z_1), v_2 = (x_2, y_2, z_2)∈ R^3

    Sia inoltre λ∈ R

    dobbiamo dimostrare che:

    • f(v_1+v_2) = f(v_1)+f(v_2) Additività 

     

    Ora:

    f(v_1) = f(x_1, y_1, z_1) = (x_1+2y_1+z_1, y_1+z_1)

    f(v_2) = f(x_2, y_2, z_2) = (x_2+2y_2+z_2, y_2+z_2)

    Di conseguenza:

    f(v_1)+f(v_2) = (x_1+x_2+2(y_1+y_2)+z_1+z_2, y_1+y_2+z_1+z_2)

    Mentre:

    f(v_1+v_2) = f(x_1+x_2, y_1+y_2,z_1+z_2) =

    = (x_1+x_2+2(y_1+y_2)+z_1+z_2,y_1+y_2+z_1+z_2)

    Questo dimostra l'additività. Nota infatti che:

    f(v_1+v_2) = f(v_1)+f(v_2)

    • f(λ v) = λ f(v) Omogeneità

    Come prima:

    f(λv) = f(λ x, λ y,λ z) = (λ x+2λ y+λ z, λ y+λ z)

    λ f(v) = λ (x+2y+z, y+z) = (λ(x+2y+z), λ (y+z)) =

    = (λ x+2λ y+λ z, λ y+λ z)

     

    Ciò dimostra l'omogeneità.

    L'applicazione è lineare! :D

    Risposta di Ifrit

  • Ad ogni modo sono un pollo...Avrei dovuto bloccare la discussione perché la tua richiesta non rispetta il regolamento :P

    Ormai è andata. Ti prego 904 rispetta il regolamento Laughing

    Risposta di Ifrit

  • Cosa non rispetta il regolamento il fatto che erano due argomenti diversi e dovevo metterli in due domande diverse vero? eh si ma pensavo facessero parte della stessa cosa visto che all'esame c'è l'avevo in un solo esercizio . Comunque wow l'avevo fatto proprio identicissimo a te all'esame!!!!

    Risposta di 904
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra Lineare