Soluzioni
  • Ciao 904 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Sia V che W soddisfano gli assiomi che definiscono il sottospazio vettoriale:

    Dobbiamo dimostrare che:

    V è chiuso rispetto all'operazione somma:

    \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\in V\implies \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2\in V

    Poiché in V ci stanno vettori della forma (0, a, c,d) allora necessariamente:

    \mathbf{v}_1= (0, a_1, c_1, d_1)\quad a_1, b_1, c_1\in \mathbb{R}

    \mathbf{v}_2= (0, a_2, c_2, d_2)\quad a_2, b_2, c_2\in \mathbb{R}

    Di conseguenza la somma:

    \mathbf{v}_1+\matbf{v}_2= (0, a_1+a_2, b_1+b_2, d_1+d_2)

    Poiché

    a_1+a_2, b_1+b_2, d_1+d_2\in \mathbb{R}

    allora 

    Il vettore somma rispetta la caratteristica dei vettori che vivono in V,  la somma vi appartiene!

    V è chiuso rispetto all'operazione prodotto per uno scalare:

    Siano

    \lambda \in\mathbb{R}

    \mathbf{v}\in V

    quello che dobbiamo dimostrare è che:

    \lambda v\in V.

    Poiché \mathbf{v}\in V allora sarà della forma:

    \mathbf{v}= (0, a, b, d)

    conseguentemente:

    \lambda \mathbf{v}= \lambda(0, a, b, d)= (0, \lambda a, \lambda b, \lambda d)

    Ora:

    \lambda a, \lambda b, \lambda d\in \mathbb{R}

    Il vettore \lambda \mathbf{v}\in V quindi l'insieme è chiuso rispetto alla operazione prodotto per uno scalare.

    Determiniamo una base:

    Osserviamo che:

    (0, a, b,d)= a(0, 1, 0,0)+b(0, 0, 1, 0)+d(0, 0, 0, 1)

    Possiamo prendere come base i vettori che compaiono:

    B_V= \{(0,1,0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1)\}

     

    L'esercizio con W è praticamente identico al precedente! :P

     

    Per verificare che f è lineare puoi procedere utilizzando la definizione:

    Siano \mathbf{v}=(x, y, z), \mathbf{v}_1= (x_1, y_1, z_1), \mathbf{v}_2= (x_2, y_2, z_2)\in \mathbb{R}^3

    Sia inoltre \lambda\in \mathbb{R}

    dobbiamo dimostrare che:

    f(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)= f(\mathbf{v}_1)+f(\mathbf{v}_2) Additività 

     

    Ora:

    f(\mathbf{v}_1)= f(x_1, y_1, z_1)=(x_1+2y_1+z_1, y_1+z_1)

    f(\mathbf{v}_2)= f(x_2, y_2, z_2)= (x_2+2y_2+z_2, y_2+z_2)

    Di conseguenza:

    f(\mathbf{v}_1)+f(\mathbf{v}_2)= (x_1+x_2+2(y_1+y_2)+z_1+z_2, y_1+y_2+z_1+z_2)

    Mentre:

    f(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)= f(x_1+x_2, y_1+y_2,z_1+z_2)=

    =(x_1+x_2+2(y_1+y_2)+z_1+z_2,y_1+y_2 +z_1+z_2)

    Questo dimostra l'additività. Nota infatti che:

    f(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)= f(\mathbf{v}_1)+f(\mathbf{v}_2)

    f(\lambda \mathbf{v})= \lambda f(\mathbf{v}) Omogeneità

    Come prima:

    f(\lambda\mathbf{v})= f(\lambda x, \lambda y,\lambda z)= (\lambda x+2\lambda y+\lambda z, \lambda y+\lambda z)

    \lambda f(\mathbf{v})= \lambda (x+2y+z, y+z)= (\lambda(x+2y+z), \lambda (y+z))=

    =(\lambda x+2\lambda y+\lambda z, \lambda y+\lambda z)

     

    Ciò dimostra l'omogeneità.

    L'applicazione è lineare! :D

    Risposta di Ifrit
  • Ad ogni modo sono un pollo...Avrei dovuto bloccare la discussione perché la tua richiesta non rispetta il regolamento :P

    Ormai è andata. Ti prego 904 rispetta il regolamento Laughing

    Risposta di Ifrit
  • Cosa non rispetta il regolamento il fatto che erano due argomenti diversi e dovevo metterli in due domande diverse vero? eh si ma pensavo facessero parte della stessa cosa visto che all'esame c'è l'avevo in un solo esercizio . Comunque wow l'avevo fatto proprio identicissimo a te all'esame!!!!

    Risposta di 904
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