Soluzioni
  • Per quanto riguarda la funzione

    f(x) = arcsin(1+sin(x))

    l'unica condizione da imporre riguarda l'esistenza dell'arcoseno: bisogna richiedere che il suo argomento appartenga all'intervallo [-1,1]. In termini più operativi, dobbiamo impostare la doppia disuguaglianza

    -1 ≤ 1+sin(x) ≤ 1

    equivalente al sistema di disequazioni

    1+sin(x) ≥ -1 ; 1+sin(x) ≤ 1

    Risolviamo la prima disequazione goniometrica isolando il seno al primo membro

    1+sin(x) ≥ -1 → sin(x) ≥ -2

    Poiché il seno è una funzione a valori compresi tra [-1,1], è certamente maggiore di -2 per ogni numero reale x pertanto la disequazione è sempre verificata.

    Consideriamo la seconda disequazione del sistema

    1+sin(x) ≤ 1

    Ancora una volta isoliamo il seno al primo membro ottenendo

    sin(x) ≤ 0

    Il seno di un angolo è negativo o nullo nel momento in cui l'angolo giace a meno di periodicità nel terzo o quarto quadrante, vale a dire quando x sottostà al vincolo

    π ≤ x ≤ 2π

    Aggiungendo la periodicità ricaviamo che il dominio della funzione è dato dall'unione degli insiemi

    [π+2kπ, 2π+2kπ]

    al variare del numero intero k. Formalmente possiamo scrivere l'insieme di definizione come segue:

    Dom(f) = U _(k∈Z)[π+2kπ, 2π+2kπ]

    dove il simbolo matematico U _(k∈Z) indica l'unione numerabile al variare di k nell'insieme Z.

    Risposta di Ifrit
 
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