Dominio di funzione con arcoseno del seno

Question

Dovrei trovare il dominio di una funzione con l'arcoseno nell'argomento del quale compare un seno. Nonostante abbia tentato di rifarmi alle regole sul calcolo del dominio, non sono riuscito a ottenere qualcosa di sensato per questo chiedo il vostro aiuto.

Trovare il dominio della funzione

impostando le opportune condizioni di esistenza.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per quanto riguarda la funzione f(x) = arcsin(1+sin(x)) l'unica condizione da imporre riguarda l'esistenza dell'arcoseno: bisogna richiedere che il suo argomento appartenga all'intervallo [-1,1]. In termini più operativi, dobbiamo impostare la doppia disuguaglianza-1 ≤ 1+sin(x) ≤ 1 equivalente al sistema di disequazioni 1+sin(x) ≥ -1 ; 1+sin(x) ≤ 1 Risolviamo la prima disequazione goniometrica isolando il seno al primo membro 1+sin(x) ≥ -1 → sin(x) ≥ -2 Poiché il seno è una funzione a valori compresi tra [-1,1], è certamente maggiore di-2 per ogni numero reale x pertanto la disequazione è sempre verificata. Consideriamo la seconda disequazione del sistema 1+sin(x) ≤ 1 Ancora una volta isoliamo il seno al primo membro ottenendo sin(x) ≤ 0 Il seno di un angolo è negativo o nullo nel momento in cui l'angolo giace a meno di periodicità nel terzo o quarto quadrante, vale a dire quando x sottostà al vincolo π ≤ x ≤ 2π Aggiungendo la periodicità ricaviamo che il dominio della funzione è dato dall'unione degli insiemi [π+2kπ, 2π+2kπ] al variare del numero intero k. Formalmente possiamo scrivere l'insieme di definizione come segue: Dom(f) = U _(k∈Z)[π+2kπ, 2π+2kπ] dove il simbolo matematico U _(k∈Z) indica l'unione numerabile al variare di k nell'insieme Z.

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