Soluzioni
  • Per quanto riguarda la funzione

    f(x)=\arcsin(1+\sin(x))

    l'unica condizione da imporre riguarda l'esistenza dell'arcoseno: bisogna richiedere che il suo argomento appartenga all'intervallo [-1,1]. In termini più operativi, dobbiamo impostare la doppia disuguaglianza

    -1\le 1+\sin(x)\le 1

    equivalente al sistema di disequazioni

    \begin{cases}1+\sin(x)\ge -1 \\ \\ 1+\sin(x)\le 1\end{cases}

    Risolviamo la prima disequazione goniometrica isolando il seno al primo membro

    1+\sin(x)\ge -1 \ \to \ \sin(x)\ge -2

    Poiché il seno è una funzione a valori compresi tra [-1,1], è certamente maggiore di -2 per ogni numero reale x pertanto la disequazione è sempre verificata.

    Consideriamo la seconda disequazione del sistema

    1+\sin(x)\le 1

    Ancora una volta isoliamo il seno al primo membro ottenendo

    \sin(x)\le 0

    Il seno di un angolo è negativo o nullo nel momento in cui l'angolo giace a meno di periodicità nel terzo o quarto quadrante, vale a dire quando x sottostà al vincolo

    \pi\le x\le 2\pi

    Aggiungendo la periodicità ricaviamo che il dominio della funzione è dato dall'unione degli insiemi

    [\pi+2k\pi, 2\pi+2k\pi]

    al variare del numero intero k. Formalmente possiamo scrivere l'insieme di definizione come segue:

    Dom(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}[\pi+2k\pi, 2\pi+2k\pi]

    dove il simbolo matematico \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} indica l'unione numerabile al variare di k nell'insieme \mathbb{Z}.

    Risposta di Ifrit
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