Soluzioni
  • Ciao Tappo, arrivo...

    Risposta di Omega
  • Dato che la parabola ha asse parallelo all'asse delle ordinate, possiamo scriverne la generica equazione nella forma

    y = ax^2+bx+c

    Il testo dell'esercizio ci dice che la parabola passa per i due punti (-4,0),(-2,2), di cui in particolare V = (-2,2) individua il vertice. Il vertice, a sua volta, individua l'asse di simmetria della parabola, che in questo caso ha equazione x = -2.

    Sfruttando la simmetria della parabola, possiamo individuare un terzo punto di passaggio: il simmetrico di (-4,0) rispetto alla retta verticale x = -2, che è evidentemente (0,0).

    Ora, sostituendo per ciascuno dei punti le coordinate nella generica equazione della parabola, otteniamo un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite, dove le incognite sono i coefficienti della generica equazione

    0 = 0+0+c ; 2 = 4a-2b+c ; 0 = 16a-4b+c

    ovvero

    c = 0 ; 2a-b = 1 ; 4a-b = 0

    che ha soluzioni

    a = -(1)/(2),b = -2,c = 0

    quindi l'equazione della parabola è data da

    y = -(1)/(2)x^2-2x

    Ora scriviamo l'equazione di una retta generica, con la condizione che sia parallela alla bisettrice del secondo-quarto quadrante, e che dunque avrà coefficiente angolare m = -1 e generica ordinata all'origine q

    y = -x+q

    Mettiamo a sistema equazione della parabola e generica equazione della retta

    y = -x+q ; y = -(1)/(2)x^2-2x

    da cui ricaviamo l'equazione

    -x+q = -(1)/(2)x^2-2x

    Questa equazione di secondo grado ha, nel caso in cui il delta sia positivo, due soluzioni dipendenti da q e distinte: x_(1,2).

    Sostituendole nell'equazione della generica retta y = -x+q si determinano le generiche ordinate y_(1,2) corrispondenti alle due ascisse x_(1,2).

    Imponendo che la distanza tra i due punti (x_1,y_1),(x_2,y_2) sia pari a 4√(2):

    √((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2) = 4√(2)

    cioè

    (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 = 32

    si determina il valore del parametro q cercato. Risostituendolo nell'equazione della retta y = -x+q, si determina la retta richiesta.

    Per concludere, chiamando i due punti B,C basterà calcolare il punto medio del segmento BC

    (x_M,y_M) = ((x_1+x_2)/(2),(y_1+y_2)/(2))

    che è il centro della circonferenza cercata; calcolareil raggio che è metà della lunghezza del segmento BC, cioè r = 2√(2) e sostituire tutto nella generica equazione della circonferenza

    (x-x_C)^2+(y-y_C)^2 = r^2

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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