Esercizio su parabola e circonferenza

Dato che la parabola ha asse parallelo all'asse delle ordinate, possiamo scriverne la generica equazione nella forma

Il testo dell'esercizio ci dice che la parabola passa per i due punti , di cui in particolare individua il vertice. Il vertice, a sua volta, individua l'asse di simmetria della parabola, che in questo caso ha equazione .

Sfruttando la simmetria della parabola, possiamo individuare un terzo punto di passaggio: il simmetrico di rispetto alla retta verticale , che è evidentemente .

Ora, sostituendo per ciascuno dei punti le coordinate nella generica equazione della parabola, otteniamo un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite, dove le incognite sono i coefficienti della generica equazione

ovvero

che ha soluzioni

quindi l'equazione della parabola è data da

Ora scriviamo l'equazione di una retta generica, con la condizione che sia parallela alla bisettrice del secondo-quarto quadrante, e che dunque avrà coefficiente angolare e generica ordinata all'origine

Mettiamo a sistema equazione della parabola e generica equazione della retta

da cui ricaviamo l'equazione

Questa equazione di secondo grado ha, nel caso in cui il delta sia positivo, due soluzioni dipendenti da e distinte: .

Sostituendole nell'equazione della generica retta si determinano le generiche ordinate corrispondenti alle due ascisse .

Imponendo che la distanza tra i due punti sia pari a :

cioè

si determina il valore del parametro cercato. Risostituendolo nell'equazione della retta , si determina la retta richiesta.

Per concludere, chiamando i due punti basterà calcolare il punto medio del segmento

che è il centro della circonferenza cercata; calcolareil raggio che è metà della lunghezza del segmento , cioè e sostituire tutto nella generica equazione della circonferenza

Namasté!