Esercizio su parabola e circonferenza

Mi potete spiegare cortesemente il procedimento per questo problema su parabola e circonferenza? Grazie!

 

Scrivi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse delle ordinate che passa per A(-4;0) e ha vertice in V(-2;2). Successivamente nel fascio di rette parallelo alla bisettrice del secondo e terzo quadrante, individua quella che stacca sulla parabola una corda di lunghezza 4rad2. Detti B e C gli estremi di tale corda scrivi l'equazione della circonferenza di diametro BC.

In Superiori - Geometria - Domanda di tappo

Soluzioni

  • Ciao Tappo, arrivo...

    Risposta di Omega

  • Dato che la parabola ha asse parallelo all'asse delle ordinate, possiamo scriverne la generica equazione nella forma

    y=ax^2+bx+c

    Il testo dell'esercizio ci dice che la parabola passa per i due punti (-4,0),(-2,2), di cui in particolare V=(-2,2) individua il vertice. Il vertice, a sua volta, individua l'asse di simmetria della parabola, che in questo caso ha equazione x=-2.

    Sfruttando la simmetria della parabola, possiamo individuare un terzo punto di passaggio: il simmetrico di (-4,0) rispetto alla retta verticale x=-2, che è evidentemente (0,0).

    Ora, sostituendo per ciascuno dei punti le coordinate nella generica equazione della parabola, otteniamo un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite, dove le incognite sono i coefficienti della generica equazione

    \left\{\begin{matrix}0=0+0+c\\ 2=4a-2b+c\\ 0=16a-4b+c\end{matrix}

    ovvero

    \left\{\begin{matrix}c=0\\ 2a-b=1\\ 4a-b=0\end{matrix}

    che ha soluzioni

    a=-\frac{1}{2},b=-2,c=0

    quindi l'equazione della parabola è data da

    y=-\frac{1}{2}x^2-2x

    Ora scriviamo l'equazione di una retta generica, con la condizione che sia parallela alla bisettrice del secondo-quarto quadrante, e che dunque avrà coefficiente angolare m=-1 e generica ordinata all'origine q

    y=-x+q

    Mettiamo a sistema equazione della parabola e generica equazione della retta

    \begin{cases}y=-x+q\\ y=-\frac{1}{2}x^2-2x\end{cases}

    da cui ricaviamo l'equazione

    -x+q=-\frac{1}{2}x^2-2x

    Questa equazione di secondo grado ha, nel caso in cui il delta sia positivo, due soluzioni dipendenti da q e distinte: x_{1,2}.

    Sostituendole nell'equazione della generica retta y=-x+q si determinano le generiche ordinate y_{1,2} corrispondenti alle due ascisse x_{1,2}.

    Imponendo che la distanza tra i due punti (x_1,y_1),(x_2,y_2) sia pari a 4\sqrt{2}:

    \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=4\sqrt{2}

    cioè

    (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=32

    si determina il valore del parametro q cercato. Risostituendolo nell'equazione della retta y=-x+q, si determina la retta richiesta.

    Per concludere, chiamando i due punti B,C basterà calcolare il punto medio del segmento BC

    (x_M,y_M)=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)

    che è il centro della circonferenza cercata; calcolareil raggio che è metà della lunghezza del segmento BC, cioè r=2\sqrt{2} e sostituire tutto nella generica equazione della circonferenza

    (x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

    Namasté!

    Risposta di Omega
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