Risoluzione serie con parametro reale, come si discute il carattere della serie?

Mi dareste una mano con una serie con un parametro reale, per favore? Grazie!

 

\sum_{n=1}^{+\infty}{\left(\frac{1}{x}\right)^n \frac{n!}{n^n}}

In Uni - Analisi - Domanda di Trial4life

 
Soluzioni

  • Ciao Trial4life, un buon modo studiare la convergenza consiste nell'applicare il criterio del rapporto e nello scrivere, per prima cosa, la serie numerica come

    \sum_{n=1}^{+\infty}{a_{n}}=\sum_{n=1}^{+\infty}{\left(\frac{1}{x}\right)^n \frac{n!}{n^n}}

    Adesso calcoliamo il limite

    L=\lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim_{n\to+\infty}{\left(\frac{1}{x}\right)\frac{n^n}{(n+1)^{n}}}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{e}

    da qui sappiamo che la serie converge se 0\leq L\textless 1 mentre se L=1 non possiamo dire nulla a priori sulla convergenza della serie.

    Quindi limitandoci ad esempio ai parametri positivi la serie converge se x è maggiore di 1/e, diverge se x è compreso tra 0 e 1/e.

    Se x=1/e la serie si riduce a

    \sum_{n=1}^{+\infty}{e^n\frac{n!}{n^n}}

    che diverge: per vederlo basta applicare il criterio del confronto asintotico e applicare la formula di Stirling.

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
 
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