Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to 0}\frac{1-e^{2x}}{\sin(3x)}=(\bullet)

    ci torneranno utili i seguenti limiti notevoli: il limite notevole del seno

    \lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}=1

    e il limite notevole dell'esponenziale

    \lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1

    Il nostro compito consiste nel ricondurci a tali limiti notevoli, utilizzando dei barbatrucchi algebrici se necessario. Per prima cosa esprimiamo il limite in una forma equivalente e più pratica

    (\bullet)=\lim_{x\to 0}\left[(1-e^{2x})\cdot\frac{1}{\sin(3x)}\right]=

    Moltiplichiamo e dividiamo per 2x così ci riconduciamo al limite notevole dell'esponenziale a meno del segno

    =\lim_{x\to 0}\frac{1-e^{2x}}{2x}\cdot\frac{2x}{\sin(3x)}=

    Per poter sfruttare il limite notevole del seno, moltiplichiamo e dividiamo invece per 3x

    =\lim_{x\to 0}\frac{1-e^{2x}}{2x}\cdot \frac{3x}{\sin(3x)}\cdot\frac{2x}{3x}=

    In accordo con l'algebra dei limiti, possiamo scrivere il limite del prodotto come prodotto dei limiti

    =\lim_{x\to 0}\frac{1-e^{2x}}{2x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{3x}{\sin(3x)}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{2x}{3x}=

    Il primo fattore coincide con -1 per via del limite notevole dell'esponenziale, il secondo fattore è il reciproco del limite notevole del seno e vale 1, infine il terzo limite si risolve semplificando x

    =\overbrace{\lim_{x\to 0}\frac{-(e^{2x}-1)}{2x}}^{=-1}\cdot \overbrace{\lim_{x\to 0}\frac{3x}{\sin(3x)}}^{=1}\cdot \overbrace{\lim_{x\to 0}\frac{2x}{3x}}^{\tfrac{2}{3}}=-\frac{2}{3}

    Abbiamo raggiunto il risultato del limite.

    Risposta di Ifrit
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