Soluzioni
  • Confermo: è la base minore che misura 12cm. In tale eventualità...

    Chiamiamo B,b,l,x rispettivamente base maggiore, base minore, lato obliquo e altezza del trapezio isoscele. Lo scopo del gioco è esprimere tutti i lati del trapezio in termini della variabile x, cioè dell'altezza, e poi usare l'informazione sul perimetro per scrivere un'opportuna equazione in x e desumerne quindi il valore di x.

    Se ci limitiamo a considerare il triangolo rettangolo formato da altezza, lato obliquo e semidifferenza delle due basi, dalle relazioni trigonometriche per i triangoli rettangoli abbiamo che

    x=l\sin{(30^{o})}

    ovvero l=2x.

    Poi calcoliamo

    \frac{B-b}{2}=l\cos{(30^{o})}=l\frac{\sqrt{3}}{2}

    da cui ricaviamo, alla luce della precedente relazione tra l,x

    B-b=\sqrt{3}l=2\sqrt{3}x

    Dato che conosciamo la misura della base maggiore, possiamo calcolare la misura della base minore semplicemente osservando che

    B=b+2\sqrt{3}x=12+2\sqrt{3}x

    Impostiamo l'equazione per il perimetro

    B+b+2l=2p

    12+12+2\sqrt{3}x+4x=4(16+5\sqrt{3})

    da cui

    2\sqrt{3}x+4x=40+20\sqrt{3})

    (2\sqrt{3}+4)x=40+20\sqrt{3})

    x=\frac{40+20\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}

    x=\frac{10(4+2\sqrt{3})}{4+2\sqrt{3}}

    Ed infine x=10cm.

    Per calcolare l'area usiamo la formula standard per il calcolo dell'area di un trapezio

    A=\frac{(B+b)h}{2}=\frac{(12+12+20\sqrt{3})10}{2}=5(24+20\sqrt{3})=20(6+5\sqrt{3})

    Namasté!

    Risposta di Omega
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