Equazione in campo complesso con termini fratti

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Dovrei svolgere la seguente equazione nel campo complesso e trovare tutte le possibili soluzioni. Non so come procedere per via della potenza quarta di z. Potreste aiutarmi?

 

Risolvere nel campo complesso l'equazione di quarto grado

 

(z^4+3(5-4i))/(3-i) = (20)/(3+i)

 

Grazie.

Domanda di trapaco

 
Soluzioni

  • L'equazione di cui vogliamo determinare le soluzioni complesse è

    (z^4+3(5-4i))/(3-i) = (20)/(3+i)

    Per agevolarci nei calcoli, moltiplichiamo i due membri per 3-i così da ottenere l'equazione equivalente

    z^4+3(5-4i) = (20(3-i))/(3+i)

    A questo punto realizziamo il denominatore del secondo membro, moltiplicando e dividendo per il coniugato di quest'ultimo, ossia per 3-i

    z^4+3(5-4i) = (20(3-i)(3-i))/((3+i)(3-i))

    Eseguiamo le operazioni tra i numeri complessi, aiutandoci eventualmente con i prodotti notevoli come prodotto tra una somma e una differenza e ancora la regola relativa al quadrato di binomio.

    z^4+15-12i = (20(9-6i-1))/(9+1) ; z^4+15-12i = (20 (8-6i))/(10)

    Semplifichiamo 20 con 10 ed eseguiamo gli ultimi calcoli

    z^4+15-12i = 16-12i

    Cancelliamo il numero -12i dai due membri e infine sommiamo algebricamente i termini simili

    z^4-1 = 0

    Il primo membro dell'equazione si può scomporre agevolmente mediante la regola sulla differenza di quadrati

    (z^2-1)(z^2+1) = 0

    e sfruttando la legge di annullamento del prodotto, scopriamo che il prodotto è nullo se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo. Grazie alla regola, otteniamo due equazioni più semplici da risolvere

    z^2-1 = 0 ∨ z^2+1 = 0

    La prima è un'equazione pura

    z^2-1 = 0 → z^2 = 1 → z_(1,2) = ±1

    La seconda equazione non ha soluzioni in R, ma possiede delle soluzioni in C: in accordo con la definizione di unità immaginaria, possiamo infatti scrivere

    z^2+1 = 0 ⇔ z^2 = -1 ⇔ z_(3,4) = ±i

    In definitiva, l'equazione di partenza ammette quattro soluzioni, così come asserisce il teorema fondamentale dell'Algebra. Esse sono

    z_1 = -1 ; z_2 = 1 ; z_3 = -i ; z_4 = i

    L'esercizio è concluso.

    Risposta di Ifrit
 
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