Soluzioni
  • L'equazione di cui vogliamo determinare le soluzioni complesse è

    \frac{z^4+3(5-4i)}{3-i}=\frac{20}{3+i}

    Per agevolarci nei calcoli, moltiplichiamo i due membri per 3-i così da ottenere l'equazione equivalente

    z^4+3(5-4i)=\frac{20(3-i)}{3+i}

    A questo punto realizziamo il denominatore del secondo membro, moltiplicando e dividendo per il coniugato di quest'ultimo, ossia per 3-i

    z^4+3(5-4i)=\frac{20(3-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}

    Eseguiamo le operazioni tra i numeri complessi, aiutandoci eventualmente con i prodotti notevoli come prodotto tra una somma e una differenza e ancora la regola relativa al quadrato di binomio.

    \\ z^4+15-12i=\frac{20(9-6i-1)}{9+1} \\ \\ z^4+15-12i=\frac{20 (8-6i)}{10}

    Semplifichiamo 20 con 10 ed eseguiamo gli ultimi calcoli

    z^4+15-12i=16-12i

    Cancelliamo il numero -12i dai due membri e infine sommiamo algebricamente i termini simili

    z^4-1=0

    Il primo membro dell'equazione si può scomporre agevolmente mediante la regola sulla differenza di quadrati

    (z^2-1)(z^2+1)=0

    e sfruttando la legge di annullamento del prodotto, scopriamo che il prodotto è nullo se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo. Grazie alla regola, otteniamo due equazioni più semplici da risolvere

    z^2-1=0\vee z^2+1=0

    La prima è un'equazione pura

    z^2-1=0\to z^2=1\to z_{1,2}=\pm 1

    La seconda equazione non ha soluzioni in \mathbb{R}, ma possiede delle soluzioni in \mathbb{C}: in accordo con la definizione di unità immaginaria, possiamo infatti scrivere

    z^2+1=0\iff z^2=-1\iff z_{3,4}=\pm i

    In definitiva, l'equazione di partenza ammette quattro soluzioni, così come asserisce il teorema fondamentale dell'Algebra. Esse sono

    z_1=-1 \ \ \ ; \ \ \ z_2=1 \ \ \ ; \ \ \ z_3=-i \ \ \ ; \ \ \ z_4=i

    L'esercizio è concluso.

    Risposta di Ifrit
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