Problema algebrico sul trapezio rettangolo

Question

Ciao a tutti, non capisco come risolvere un problema sul trapezio rettangolo con uno svolgimento algebrico. In un trapezio rettangolo la somma delle basi è 22m l'altezza di 10 m è uguale alla differenza delle basi a quale distanza da uno dei due vertici dell'angolo retto occorre prendere sul lato perpendicolare alle basi un punto P affinché il triangolo che ha per vertice questo punto e i due estremi del lato obliquo abbia area uguale ai 2/5 di quella del trapezio? Grazie ragazzi!

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Dati S = B+b = 22 m ; h = 10 m ; D = B-b = h Indichiamo con A, B, C, D i vertici del trapezio rettangolo, in particolare: AB = Base maggiore BC = Lato obliquo CD = Base minore DA = Altezza. Calcoliamo la lunghezza delle basi: B = (S+D)/(2) = (32)/(2) = 16 , , m b = (S-D)/(2) = (12)/(2) = 6 , , m Osserviamo che il punto P forma con i vertici della base minore un triangolo rettangolo di lati: CD = Cateto DP = Cateto PC = Ipotenusa Similmente, il punto P forma con i vertici della base maggiore un ulteriore triangolo rettangolo. AP = Cateto AB = Cateto PB = Ipotenusa Calcoliamo l'area del trapezio: A_(trapezio) = ((B+b)h)/(2) = (22×10)/(2) = 110 , , m^2 L'area del triangolo richiesto dall'esercizio può essere calcolata togliendo all'area del trapezio, la somma delle aree dei triangoli rettangoli descritti sopra: Sia AP = x allora necessariamente PD = 10-x Calcoliamo le aree dei due triangoli: A_(t_1) = (AP×AB)/(2) = (x×16)/(2) = 8x , , m^2 A_(t_2) = (DP×DC)/(2) = ((10-x)×6)/(2) = 30-3x , , m^2 Sommiamo le due aree: A_(t_1)+A_(t_2) = 8x-3x+30 = 5x+30 , , m^2 Ora si ha che: A_(triangolo) = A_(trapezio)-A_(t_1)-A_(t_2) = 110-5x-30 = 80-5x , ,m^2 A questo punto abbiamo finito, dobbiamo risolvere l'equazione: A_(triangolo) = (2)/(5) A_(trapezio) 80-5x = (2)/(5)×110 , , m^2 ⇒ 80-5x = 44 Risolvendo rispetto ad x 5x = 80-44 ⇒ x = (36)/(5) = 7.2 , , m