Soluzioni
  • Ciao Jumpy. :)

    Disegniamo un triangolo equilatero ABC di lato \ell e prendiamo il punto L sul lato AC ed il punto M sul lato AB in modo che risulti AL=AM e congiungiamo L con B.

     

    Problema con discussione sul triangolo equilatero

     

    Poniamo AL=AM=x

    Poiché dobbiamo determinare il punto L in modo che risulti

    2AM^2+MB^2+LB^2=k\ell^2

    cerchiamo di scrivere i tre segmenti AM, \ MB \mbox{ e } LB in funzione di x ed \ell.

    Come possiamo osservare dal disegno fatto

    MB=AB-AM=\ell-x

    Poiché AL=AM il triangolo ALM è un triangolo isoscele di base LM. Inoltre, dal momento che l'angolo in A misura 60° (in quanto angolo al vertice di un triangolo equilatero), un triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali e la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, si ha che

    \widehat{ALM}=\widehat{AML}=(180^{\circ}-60^{\circ}):2=60^{\circ}

    Ossia il triangolo ALM è anch'esso un triangolo equilatero di lato LM=AM=AL=x.

    Osserviamo inoltre che

    \widehat{LMB}=180^{\circ}-\widehat{AML}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}

    Per trovare la misura di LB^2 possiamo allora applicare il teorema di Carnot al triangolo LMB:

    LB^2=LM^2+MB^2-2\cdot LM \cdot MB \cdot \cos(\widehat{LMB})=

    =x^2+(\ell-x)^2-2x(\ell-x)\cdot \cos(120^{\circ})=

    =x^2+(\ell-x)^2-2x(\ell-x)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=x^2+(\ell-x)^2+x(\ell-x)

    Andando a sostituire nell'equazione fornita dal problema

    2AM^2+MB^2+LB^2=k\ell^2

    ricadiamo nell'equazione

    2x^2+(\ell-x)^2+x^2+(\ell-x)^2+x(\ell-x)=k\ell^2

    sviluppando i due quadrati di binomio ed ordinando secondo le potenze decrescenti di x otteniamo la seguente equazione di secondo grado parametrica

    4x^2-3\ell x +2\ell^2-k\ell=0

    dove, attenzione, il parametro è k e non \ell; quest'ultimo infatti indica la misura del lato del triangolo equilatero di partenza.

    Dal momento che un'equazione di secondo grado ammette soluzioni reali se il suo discriminante è positivo o nullo, dobbiamo imporre che sia

    \Delta\ge 0 \mbox{ da cui } 9\ell^2-16(2\ell^2-k\ell)\ge 0

    Svolgendo i conti vien fuori

    -24\ell^2+16k\ell \ge 0 \iff k\ge \frac{3}{2}\ell

    Questo conclude il problema. :)

    Risposta di Galois
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