Problema geometrico: discussione su un triangolo equilatero

Question

Mi aiutate con la discussione di un problema geometrico con un triangolo equilatero?

In un triangolo equilatero ABC di lato il punto L di AC e il punto M di AB sono tali che AL=AM. Determina L in modo che risulti:

con k parametro reale. Grazie mille!

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Disegniamo un triangolo equilatero ABC di lato ell e prendiamo il punto L sul lato AC ed il punto M sul lato AB in modo che risulti AL = AM e congiungiamo L con B. Poniamo AL = AM = x Poiché dobbiamo determinare il punto L in modo che risulti 2AM^2+MB^2+LB^2 = k ell^2 cerchiamo di scrivere i tre segmenti AM, MB e LB in funzione di x ed ell. Come possiamo osservare dal disegno MB = AB-AM = ell-x Poiché AL = AM, il triangolo ALM è un triangolo isoscele di base LM. Dal momento che l'angolo in A misura 60° (in quanto angolo al vertice di un triangolo equilatero), poiché un triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali e poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, risulta ALM = AML = (180°-60°):2 = 60° Ossia il triangolo ALM è anch'esso un triangolo equilatero di lato LM = AM = AL = x. Osserviamo inoltre che LMB = 180°-AML = 180°-60° = 120° Per trovare la misura di LB^2 possiamo allora applicare il teorema di Carnot al triangolo LMB: LB^2 = LM^2+MB^2-2·LM·MB·cos(LMB) = x^2+(ell-x)^2-2x(ell-x)·cos(120°) = x^2+(ell-x)^2-2x(ell-x)·(-(1)/(2)) = x^2+(ell-x)^2+x(ell-x) Andando a sostituire nell'equazione fornita dal problema 2AM^2+MB^2+LB^2 = k ell^2 ricadiamo nell'equazione 2x^2+(ell-x)^2+x^2+(ell-x)^2+x(ell-x) = k ell^2 sviluppando i due quadrati di binomio ed ordinando secondo le potenze decrescenti di x otteniamo la seguente equazione di secondo grado parametrica 4x^2-3 ell x+2 ell^2-k ell = 0 dove, attenzione, il parametro è k e non ell; quest'ultimo infatti indica la misura del lato del triangolo equilatero di partenza. Dal momento che un'equazione di secondo grado ammette soluzioni reali se il suo discriminante è positivo o nullo, dobbiamo imporre che sia Δ ≥ 0 da cui 9 ell^2-16(2 ell^2-k ell) ≥ 0 Svolgendo i conti vien fuori-24 ell^2+16k ell ≥ 0 ⇔ k ≥ (3)/(2) ell Questo conclude il problema. :)

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