Prismi equivalenti calcolare il volume

Buongiorno mi aiutate a calcolare il volume di un prisma retto in un problema con due prismi equivalenti?

L'area della superficie totale di un prisma retto è 10,56 dm^2 e la sua base è quandrato di lato 12 cm. Calcola l'area della superficie totale di un altro prisma retto che ha lo stesso volume del primo e la cui base è un rombo avente una diagonale du 16 cm e il lato di 10 cm.

Grazie!;

In Medie - Geometria - Domanda di Berny

Soluzioni

Ciao Berny, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega
Per prima cosa calcoliamo la superficie di base del prisma retto a base quadrata, che è l'area di un quadrato (abbiamo a che fare con un prisma quadrangolare regolare)

$S_{base}=l_{base}^2=12^2=144cm^2$

poi calcoliamo l'area della superficie laterale come differenza: occhio alle unità di misura!

$S_{tot}=10,56dm^2=10,56\times 100 cm^2=1056cm^2$

e quindi

$S_{lat}=S_{tot}-2\times S_{base}=1056-288=768cm^2$

D'altra parte, l'area della superficie laterale si calcola come

$S_{lat}=4\times (l_{base}\times h)=$

da cui ricaviamo, invertendo la formula

$h=\frac{S_{lat}}{4l_{base}}=\frac{768}{48}=16cm$

ed infine calcoliamo il volume del prisma retto a base quadrata

$V=S_{base}\times h=144\times 16=2304cm^3$

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Da qui in poi faranno riferimento alle superfici e al volume del secondo prisma.

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Ora consideriamo il secondo prisma retto, avente per base un rombo (click per il formulario). Essendo equivalente al primo prisma, esso avrà volume

con il teorema di Pitagora, possiamo calcolare la lunghezza della seconda semidiagonale di base

(dobbiamo usare le semidiagonali)

$\frac{d_2}{2}=\sqrt{l^2-\left(\frac{d_1}{2}\right)^2}\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6cm$

quindi la seconda diagonale misura

e l'area della superficie di base è l'area del rombo, cioè il semiprodotto delle diagonali

$S_{base}=\frac{d_1\times d_2}{2}=\frac{12\times 16}{2}=96cm^2$

Dividendo il volume per l'area di base, troviamo l'altezza del prisma retto

$h=\frac{V}{S_{base}}=\frac{2304}{96}=24cm$

e quindi possiamo calcolare l'area della superficie totale come

$S_{tot}=2\times S_{base}+h\times (4\times l)=2\times 192+24(40)=1344cm^2$

Namasté!

Risposta di Omega
Grazie per la spiegazione ma come mai sul libro il risultato è 11, 52 dmquadrati?

Risposta di Berny
Infatti ho commesso un errore di copia-incolla stupidissimo nell'ultima formula: avevo già moltiplicato per 2!

$S_{tot}=192+ 24\times 40=1152cm^2$

che in decimetri quadrati è

$S_{tot}=11,52dm^2$

basta dividere il precedente risultato per 100.

Namasté!

Risposta di Omega