Soluzioni
  • Una funzione convessa su un intervallo è una funzione per cui, dati due punti del grafico sull'intervallo, il segmento che congiunge i due punti è situato al di sopra del grafico della funzione. Di contro una funzione è concava se il segmento è situato al di sotto del grafico.

    Il criterio di convessità stabilisce che una funzione f(x):(a,b)\to \mathbb{R} derivabile su (a,b) è convessa su (a,b) se e solo se f'(x) è crescente su (a,b)

    Definizione di funzione convessa

    In primis, vediamo la definizione di funzione convessa su un intervallo: f:(a,b)\to \mathbb{R} si dice convessa su (a,b) se per ogni x_1,x_2\in (a,b) e per ogni valore di \lambda\in [0,1] risulta che

    f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)

    Geometricamente: il grafico della funzione tra le ascisse x_1,x_2 si trova al di sotto della retta congiungente i punti (x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)).

    Definizione equivalente di funzione convessa

    Una definizione equivalente è la seguente: diciamo che f:(a,b)\to\mathbb{R} è convessa sull'intervallo (a,b) se il grafico della funzione ristretto all'intervallo (a,b) si trova al di sopra di tutte le rette tangenti al grafico stesso in ogni punto (x,f(x)), cioè per ogni x_0\in (a,b) e per ogni x\in (a,b) risulta che

    f(x)\geq f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

    ***

    Se vuoi approfondire con esempi grafici e quant'altro, ti rimando alla lettura della lezione sui teoremi sulla derivata seconda.

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    Criterio di convessità

    Il criterio di convessità è il seguente: una funzione f(x):(a,b)\to \mathbb{R} derivabile su (a,b) è convessa su (a,b) se e solo se f'(x) è crescente su (a,b)

    Dimostrazione del criterio di convessità

    Supponiamo che f sia una funzione derivabile e convessa su (a,b), e prendiamo due punti x_1,x_2\in (a,b), per cui per l'ultima definizione di convessità data abbiamo che

    \\ f(x)\geq f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1)\\ \\ f(x)\geq f'(x_2)(x-x_2)+f(x_2)

    dato che tali relazioni valgono per ogni x nell'intervallo, prendiamo la prima con x=x_2 e la seconda con x=x_1, per cui

    f(x_2)\geq f'(x_1)(x_2-x_1)+f(x_1)

    f(x_1)\geq f'(x_2)(x_1-x_2)+f(x_2)

    prendiamo la differenza, e troviamo

    (f'(x_1)-f'(x_2))\cdot (x_2-x_1)\leq 0

    vale a dire che la funzione f'(x) è crescente sull'intervallo, alla luce dell'arbitrarietà di x_1,x_2.

    Viceversa, supponiamo che f'(x) sia crescente su [a,b] e consideriamo un punto x_0\in (a,b). Consideriamo la funzione ausiliaria

    g(x)=f(x)-f'(x_0)(x-x_0)-f(x_0)

    e deriviamola

    g'(x)=f'(x)-f'(x_0)

    alla luce della nostra ipotesi deduciamo che g' è negativa per x<x_0 e positiva per x>x_0, vale a dire: g' ha un minimo assoluto in x=x_0

    D'altra parte g(x_0)= 0 da cui segue che g(x)\geq 0 per ogni x nell'intervallo.

    Guardando la definizione della funzione ausiliaria g(x), abbiamo automaticamente la convessità della funzione f(x).

    Namasté!

    Risposta di Omega
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