Retroimmagine

Salve, vorrei chiarire il procedimento per calcolare la retroimmagine di una funzione. Faccio riferimento ad un esercizio. Ho la funzione

 

y=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}

 

e devo calcolare la retroimmagine dell'intervallo [0,1] mediante la funzione.

Tuttavia come primo passaggio devo calcolare il dominio della funzione per vedere se questa è continua nell'intervallo dato, poiché se così non fosse non potrei calcolare la retroimmagine, giusto?

 

Determino il dominio mi viene uguale a (-1,1). Ora dato che l'intervallo dato dall'esercizio è [0,1] (dove il mio problema è all'estremo 1 poiché è compreso nell'intervallo).

 

Devo dire semplicemente che è impossibile calcolare la retroimmagine oppure affermo che per 1 non ha soluzioni la retroimmagine e mi calcolo solo i valori per f(x)\geq 0?

In Uni - Analisi - Domanda di latorre7

Soluzioni

  • Ciao latorre7 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • La retroimmagine di un insieme A tramite una funzione f è:

    f^{-1}(A):= \{x\in \mbox{dom}(f): f(x)\in A\}

     

    Ora il dominio dominio come hai notato correttamente è:

    \mbox{dom}(f):=]-1, 1[

    Nel nostro caso quindi hai:

    f^{-1}([0, 1]):= \{x\in ]-1, 1[: \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\in [0,1]\}

    In ogni caso dovrai risolvere il sistema di disequazioni:

    \begin{cases}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\le 1\\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ge 0\end{cases}

    Questo perché l'insieme [0, 1] non è contenuto nel dominio della funzione, ma è contenuto nell'immagine di quest'ultima. 

    La seconda disequazione è immediata, nota infatti che è non negativa se  e solo se

    S_1: 0\le x\textless 1

    (l'uno l'ho escluso perché non fa parte del dominio, of course)

    Per la prima disequazione:

    \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\le 1\implies \frac{x-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\le 0

    Il denominatore è sempre positivo nel dominio, quindi devi studiare il segno del numeratore, in particolare a te interessa quando il numeratore è non positivo:

    x-\sqrt{1-x^2}\le 0\iff x\le \sqrt{1-x^2}

    Questa disequazione è equivalente a:

    \begin{cases}1-x^2\ge 0\\ x\ge 0\\ 1-x^2\ge x^2\end{cases}\vee \begin{cases}1-x^2\ge 0\\ x\textless 0\end{cases}

     

    Risolvi separatamente i due sistemi e poi unisci le soluzioni. Otterrai l'insieme soluzione S_2

     Una volta fatto questo dovrai intersecare:

    S_1\cap S_2

    La retroimmagine è \left[0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right]

    Risposta di Ifrit
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