Retroimmagine

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Salve, vorrei chiarire il procedimento per calcolare la retroimmagine di una funzione. Faccio riferimento ad un esercizio. Ho la funzione

 

y = (x)/(√(1-x^2))

 

e devo calcolare la retroimmagine dell'intervallo [0,1] mediante la funzione.

Tuttavia come primo passaggio devo calcolare il dominio della funzione per vedere se questa è continua nell'intervallo dato, poiché se così non fosse non potrei calcolare la retroimmagine, giusto?

 

Determino il dominio mi viene uguale a (-1,1). Ora dato che l'intervallo dato dall'esercizio è [0,1] (dove il mio problema è all'estremo 1 poiché è compreso nell'intervallo).

 

Devo dire semplicemente che è impossibile calcolare la retroimmagine oppure affermo che per 1 non ha soluzioni la retroimmagine e mi calcolo solo i valori per f(x) ≥0?

Domanda di latorre7

 
Soluzioni

  • Ciao latorre7 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • La retroimmagine di un insieme A tramite una funzione f è:

    f^(-1)(A): = x∈ dom(f): f(x)∈ A

     

    Ora il dominio dominio come hai notato correttamente è:

    dom(f): = ]-1, 1[

    Nel nostro caso quindi hai:

    f^(-1)([0, 1]): = x∈ ]-1, 1[: (x)/(√(1-x^2))∈ [0,1]

    In ogni caso dovrai risolvere il sistema di disequazioni:

    (x)/(√(1-x^2)) ≤ 1 ; (x)/(√(1-x^2)) ≥ 0

    Questo perché l'insieme [0, 1] non è contenuto nel dominio della funzione, ma è contenuto nell'immagine di quest'ultima. 

    La seconda disequazione è immediata, nota infatti che è non negativa se  e solo se

    S_1: 0 ≤ x < 1

    (l'uno l'ho escluso perché non fa parte del dominio, of course)

    Per la prima disequazione:

    (x)/(√(1-x^2)) ≤ 1 ⇒ (x-√(1-x^2))/(√(1-x^2)) ≤ 0

    Il denominatore è sempre positivo nel dominio, quindi devi studiare il segno del numeratore, in particolare a te interessa quando il numeratore è non positivo:

    x-√(1-x^2) ≤ 0 ⇔ x ≤ √(1-x^2)

    Questa disequazione è equivalente a:

    1-x^2 ≥ 0 ; x ≥ 0 ; 1-x^2 ≥ x^2 ∨ 1-x^2 ≥ 0 ; x < 0

     

    Risolvi separatamente i due sistemi e poi unisci le soluzioni. Otterrai l'insieme soluzione S_2

     Una volta fatto questo dovrai intersecare:

    S_1 ∩ S_2

    La retroimmagine è [0, (1)/(√(2))]

    Risposta di Ifrit
 
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