Consideriamo l'integrale improprio parametrico
e analizziamo la funzione integranda
Essa è una funzione continua su
perché composizione di funzioni continue, mentre
sono punti singolari.
In particolare:
- il punto
è un punto di discontinuità di seconda specie, perché
e di conseguenza
è una funzione illimitata, avendo un asintoto verticale di equazione
;
- il valore
è un punto di discontinuità ma la sua classificazione dipende dal parametro
. Impostiamo il limite
e risolviamolo mediante l'uso dei limiti notevoli. Aggiungiamo e sottraiamo 1 nell'argomento del logaritmo
e scomponiamo la differenza di quadrati presente nel valore assoluto:
Grazie alla proprietà del valore assoluto sul prodotto in combinazione con le proprietà delle potenze, possiamo esprimere riscrivere il limite come segue
Moltiplichiamo e dividiamo per
così da ottenere
Il primo limite è riconducibile al limite notevole del logaritmo ed ha come risultato
, nel secondo semplifichiamo
con
Per
, il fattore
dunque:
Dai risultati del limite possiamo asserire che
è:
- un punto di discontinuità di seconda specie per
;
- un punto di discontinuità eliminabile (o di terza specie)
;
Per studiare la convergenza dell'integrale lo spezziamo come somma di integrali, fissando
:
Chiamiamo per semplicità di esposizione
Se i due integrali al secondo membro convergono allora convergerà anche l'integrale di partenza.
Studiamo il comportamento di
, analizzando il comportamento della funzione integranda negli intorni dei punti problematici: il nostro intento è quello di studiare l'andamento dell'integrale mediante i criteri di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie.
Nell'intorno destro di
l'integranda gode della seguente equivalenza asintotica
e per il criterio del confronto asintotico
ha lo stesso comportamento dell'integrale
Studiamo la convergenza di quest'ultimo osservando che
è maggiorata da
ossia sussiste la disuguaglianza
Poiché
è un integrale improprio notevole convergente allora converge
e per il criterio del confronto asintotico converge anche
, indipendentemente dal valore di
.
Studiamo il comportamento di
, mediante il criterio del confronto asintotico. Per
sussistono le seguenti equivalenze asintotiche
di conseguenza la funzione integranda soddisfa la relazione
e l'integrale associato alla stima asintotica è
che è un integrale improprio notevole che converge a patto che l'esponente
.
In definitiva abbiamo scoperto che
- l'integrale
converge indipendentemente da
;
- l'integrale
converge per
;
pertanto l'integrale di partenza converge se e solo se
perché somma di integrali convergenti.
L'esercizio è terminato.
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