Convergenza integrale improprio nell'intorno di 0

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Ho difficoltà nello studio della convergenza di un integrale improprio con parametro e con una funzione logaritmica.

 

Il testo dice: determinare per quali valori del parametro reale a>0 converge l'integrale

 

\int_{0}^{1}\frac{|\ln(x)|}{|x^2-1|^a}dx

 

Come posso procedere? Grazie mille.

Domanda di Fuivito

 
Soluzioni

  • Consideriamo l'integrale improprio parametrico

    \int_{0}^{1}\frac{|\ln(x)|}{|x^2-1|^{a}}dx=(\bullet)

    e analizziamo la funzione integranda

    f(x)=\frac{|\ln(x)|}{|x^2-1|^{a}}

    Essa è una funzione continua su (0, 1) perché composizione di funzioni continue, mentre x=0\mbox{ e }x=1 sono punti singolari.

    In particolare:

    - il punto x=0 è un punto di discontinuità di seconda specie, perché

    \lim_{x\to 0}\frac{|\ln(x)|}{|x^2-1|^{a}}=\lim_{x\to 0}|\ln(x)|=+\infty

    e di conseguenza f(x) è una funzione illimitata, avendo un asintoto verticale di equazione x=0;

    - il valore x=1 è un punto di discontinuità ma la sua classificazione dipende dal parametro a. Impostiamo il limite

    \lim_{x\to 1}\frac{|\ln(x)|}{|x^2-1|^{a}}=

    e risolviamolo mediante l'uso dei limiti notevoli. Aggiungiamo e sottraiamo 1 nell'argomento del logaritmo

    \lim_{x\to 1}\frac{|\ln(1+x-1)|}{|x^2-1|^{a}}=

    e scomponiamo la differenza di quadrati presente nel valore assoluto:

    =\lim_{x\to 1}\frac{|\ln(1+x-1)|}{|(x-1)(x+1)|^{a}}=

    Grazie alla proprietà del valore assoluto sul prodotto in combinazione con le proprietà delle potenze, possiamo esprimere riscrivere il limite come segue

    =\lim_{x\to 1}\frac{|\ln(1+x-1)|}{|x-1|^{a}\cdot |x+1|^{a}}dx=

    Moltiplichiamo e dividiamo per |x-1| così da ottenere

    \\ =\lim_{x\to 1}\frac{|\ln(1+x-1)|\cdot|x-1|}{|x-1|\cdot |x-1|^{a}\cdot |x+1|^{a}}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 1}\frac{|\ln(1+x-1)|}{|x-1|}\cdot\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{|x-1|^{a}|x+1|^{a}}=

    Il primo limite è riconducibile al limite notevole del logaritmo ed ha come risultato 1, nel secondo semplifichiamo |x-1| con |x-1|^{a}

    =\lim_{x\to 1}\frac{1}{|x-1|^{a-1}|x+1|^{a}}=

    Per x\to 1, il fattore |x+1|^{a}\to 2^{a} dunque:

    =\frac{1}{2^{a}}\lim_{x\to 1}\frac{1}{|x-1|^{a-1}}=\begin{cases} +\infty&\mbox{ se }a>1\\ \frac{1}{2^{0}}=1&\mbox{ se }a=1\\ 0&\mbox{ se }0<a<1\end{cases}

    Dai risultati del limite possiamo asserire che x=1 è:

    - un punto di discontinuità di seconda specie per a>1;

    - un punto di discontinuità eliminabile (o di terza specie) a\le 1;

    Per studiare la convergenza dell'integrale lo spezziamo come somma di integrali, fissando x_0=\frac{1}{2}:

    (\bullet)=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{|\ln(x)|}{|x^2-1|^a}dx+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{|\ln(x)|}{|x^2-1|^a}dx

    Chiamiamo per semplicità di esposizione

    I=\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{|\ln(x)|}{|x^2-1|^{a}} \ \ \ \mbox{ e } \ \ \ J=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{|\ln(x)|}{|x^2-1|^a}dx

    Se i due integrali al secondo membro convergono allora convergerà anche l'integrale di partenza.

    Studiamo il comportamento di I, analizzando il comportamento della funzione integranda negli intorni dei punti problematici: il nostro intento è quello di studiare l'andamento dell'integrale mediante i criteri di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie.

    Nell'intorno destro di 0 l'integranda gode della seguente equivalenza asintotica

    f(x)\sim_{x\to 0}|\ln(x)|

    e per il criterio del confronto asintotico I ha lo stesso comportamento dell'integrale

    \int_{0}^{\frac{1}{2}}|\ln(x)|dx

    Studiamo la convergenza di quest'ultimo osservando che |\ln(x)| è maggiorata da \frac{1}{\sqrt{x}} ossia sussiste la disuguaglianza

    |\ln(x)|<\frac{1}{\sqrt{x}}

    Poiché

    \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{x}}dx

    è un integrale improprio notevole convergente allora converge

    \int_{0}^{\frac{1}{2}}|\ln(x)|dx

    e per il criterio del confronto asintotico converge anche I, indipendentemente dal valore di a.

    Studiamo il comportamento di J, mediante il criterio del confronto asintotico. Per x\to 1 sussistono le seguenti equivalenze asintotiche

    \\ |\ln(x)|=|\ln(1+x-1)|\sim_{x\to 1}|x-1| \\ \\ |x^2-1|^{a}=|(x+1)(x-1)|^{a}\sim_{x\to 1}2^{a}|x-1|^{a}

    di conseguenza la funzione integranda soddisfa la relazione

    \frac{|\ln(x)|}{|x^2-1|^{a}}\sim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{2^{a}|x-1|^{a}}=\frac{1}{2^{a}|x-1|^{a-1}}

    e l'integrale associato alla stima asintotica è

    \int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{2^{a}|x-1|^{a}}dx=\frac{1}{2^{a}}\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{(1-x)^{a-1}}dx

    che è un integrale improprio notevole che converge a patto che l'esponente a-1<1\implies a<2.

    In definitiva abbiamo scoperto che

    - l'integrale I converge indipendentemente da a;

    - l'integrale J converge per 0<a<2;

    pertanto l'integrale di partenza converge se e solo se 0<a<2 perché somma di integrali convergenti.

    L'esercizio è terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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