Convergenza integrale improprio nell'intorno di 0

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Ho difficoltà nello studio della convergenza di un integrale improprio con parametro e con una funzione logaritmica.

 

Il testo dice: determinare per quali valori del parametro reale a > 0 converge l'integrale

 

∫_(0)^(1)(|ln(x)|)/(|x^2-1|^a)dx

 

Come posso procedere? Grazie mille.

Domanda di Fuivito

 
Soluzioni

  • Consideriamo l'integrale improprio parametrico

    ∫_(0)^(1)(|ln(x)|)/(|x^2-1|^(a))dx = (•)

    e analizziamo la funzione integranda

    f(x) = (|ln(x)|)/(|x^2-1|^(a))

    Essa è una funzione continua su (0, 1) perché composizione di funzioni continue, mentre x = 0 e x = 1 sono punti singolari.

    In particolare:

    - il punto x = 0 è un punto di discontinuità di seconda specie, perché

    lim_(x → 0)(|ln(x)|)/(|x^2-1|^(a)) = lim_(x → 0)|ln(x)| = +∞

    e di conseguenza f(x) è una funzione illimitata, avendo un asintoto verticale di equazione x = 0;

    - il valore x = 1 è un punto di discontinuità ma la sua classificazione dipende dal parametro a. Impostiamo il limite

    lim_(x → 1)(|ln(x)|)/(|x^2-1|^(a)) =

    e risolviamolo mediante l'uso dei limiti notevoli. Aggiungiamo e sottraiamo 1 nell'argomento del logaritmo

    lim_(x → 1)(|ln(1+x-1)|)/(|x^2-1|^(a)) =

    e scomponiamo la differenza di quadrati presente nel valore assoluto:

    = lim_(x → 1)(|ln(1+x-1)|)/(|(x-1)(x+1)|^(a)) =

    Grazie alla proprietà del valore assoluto sul prodotto in combinazione con le proprietà delle potenze, possiamo esprimere riscrivere il limite come segue

    = lim_(x → 1)(|ln(1+x-1)|)/(|x-1|^(a)·|x+1|^(a))dx =

    Moltiplichiamo e dividiamo per |x-1| così da ottenere

    = lim_(x → 1)(|ln(1+x-1)|·|x-1|)/(|x-1|·|x-1|^(a)·|x+1|^(a)) = lim_(x → 1)(|ln(1+x-1)|)/(|x-1|)·lim_(x → 1)(|x-1|)/(|x-1|^(a)|x+1|^(a)) =

    Il primo limite è riconducibile al limite notevole del logaritmo ed ha come risultato 1, nel secondo semplifichiamo |x-1| con |x-1|^(a)

    = lim_(x → 1)(1)/(|x-1|^(a-1)|x+1|^(a)) =

    Per x → 1, il fattore |x+1|^(a) → 2^(a) dunque:

    = (1)/(2^(a))lim_(x → 1)(1)/(|x-1|^(a-1)) = +∞ se a > 1 ; (1)/(2^(0)) = 1 se a = 1 ; 0 se 0 < a < 1

    Dai risultati del limite possiamo asserire che x = 1 è:

    - un punto di discontinuità di seconda specie per a > 1;

    - un punto di discontinuità eliminabile (o di terza specie) a ≤ 1;

    Per studiare la convergenza dell'integrale lo spezziamo come somma di integrali, fissando x_0 = (1)/(2):

    (•) = ∫_(0)^((1)/(2))(|ln(x)|)/(|x^2-1|^a)dx+∫_((1)/(2))^(1)(|ln(x)|)/(|x^2-1|^a)dx

    Chiamiamo per semplicità di esposizione

    I = ∫_(0)^((1)/(2))(|ln(x)|)/(|x^2-1|^(a)) e J = ∫_((1)/(2))^(1)(|ln(x)|)/(|x^2-1|^a)dx

    Se i due integrali al secondo membro convergono allora convergerà anche l'integrale di partenza.

    Studiamo il comportamento di I, analizzando il comportamento della funzione integranda negli intorni dei punti problematici: il nostro intento è quello di studiare l'andamento dell'integrale mediante i criteri di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie.

    Nell'intorno destro di 0 l'integranda gode della seguente equivalenza asintotica

    f(x) ~ _(x → 0)|ln(x)|

    e per il criterio del confronto asintotico I ha lo stesso comportamento dell'integrale

    ∫_(0)^((1)/(2))|ln(x)|dx

    Studiamo la convergenza di quest'ultimo osservando che |ln(x)| è maggiorata da (1)/(√(x)) ossia sussiste la disuguaglianza

    |ln(x)| < (1)/(√(x))

    Poiché

    ∫_(0)^((1)/(2))(1)/(√(x))dx

    è un integrale improprio notevole convergente allora converge

    ∫_(0)^((1)/(2))|ln(x)|dx

    e per il criterio del confronto asintotico converge anche I, indipendentemente dal valore di a.

    Studiamo il comportamento di J, mediante il criterio del confronto asintotico. Per x → 1 sussistono le seguenti equivalenze asintotiche

    |ln(x)| = |ln(1+x-1)| ~ _(x → 1)|x-1| ; |x^2-1|^(a) = |(x+1)(x-1)|^(a) ~ _(x → 1)2^(a)|x-1|^(a)

    di conseguenza la funzione integranda soddisfa la relazione

    (|ln(x)|)/(|x^2-1|^(a)) ~ _(x → 1)(|x-1|)/(2^(a)|x-1|^(a)) = (1)/(2^(a)|x-1|^(a-1))

    e l'integrale associato alla stima asintotica è

    ∫_((1)/(2))^(1)(1)/(2^(a)|x-1|^(a))dx = (1)/(2^(a))∫_((1)/(2))^(1)(1)/((1-x)^(a-1))dx

    che è un integrale improprio notevole che converge a patto che l'esponente a-1 < 1 ⇒ a < 2.

    In definitiva abbiamo scoperto che

    - l'integrale I converge indipendentemente da a;

    - l'integrale J converge per 0 < a < 2;

    pertanto l'integrale di partenza converge se e solo se 0 < a < 2 perché somma di integrali convergenti.

    L'esercizio è terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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