Soluzioni
  • In questo genere di esercizi è essenziale imboccare il giusto ragionamento iniziale, dopodiché il gioco è fatto. :)

    Apparentemente abbiamo pochi dati: sappiamo che c'è una retta tangente a tutte le circonferenze del fascio da determinare

     3x-4y+16=0

    e che il punto di tangenza ha ascissa x=0, cosicché la corrispondente ordinata, per sostituzione, è data da

    y=4

    cioè T=(0,4). Tutto qui.

    Eppure, se osserviamo che il raggio che congiunge il punto di tangenza al centro della circonferenza è perpendicolare alla retta tangente, siamo vicinissimi alla soluzione.

    Questo perché, evidentemente, tutte le circonferenze del fascio devono avere i centri che si trovano su una stessa retta: la retta perpendicolare alla retta tangente e passante per il punto di tangenza T.

    Ricavare l'equazione della retta dei centri è semplice: basta considerare la generica equazione della retta passante per un punto

    y-y_T=m(x-x_T)

    e ricordare che due rette perpendicolari hanno coefficienti angolari che sono l'uno opposto del reciproco dell'altro.

    Scrivendo la retta tangente nella forma

    y=\frac{3}{4}x+4

    si vede subito che il coefficiente angolare della retta dei centri è dato da -4/3, quindi la retta dei centri ha equazione

    y-4=-\frac{4}{3}x

    vale a dire

    y=-\frac{4}{3}x+4

    Consideriamo la generica equazione di una circonferenza:

    (x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

    noi sappiamo che le coordinate (x_C,y_C) soddisfano l'equazione della retta dei centri, quindi

    y_C=-\frac{4}{3}x_C+4

    Sostituiamo tale espressione di y_C nell'equazione della generica circonferenza

    (x-x_C)^2+\left(y+\frac{4}{3}x_C-4\right)^2=r^2

    A questo punto ci ricordiamo che ognuna delle circonferenze del fascio passa per il punto di tangenza, quindi le coordinate di T devono verificarne l'equazione

    (0-x_C)^2+\left(4+\frac{4}{3}x_C-4\right)^2=r^2

    x_C^2+\frac{16}{9}x_C^2=r^2

    \frac{25}{9}x_C^2=r^2

    Imponendo, come richiesto dall'esercizio, che il raggio misuri 5, troviamo

    \frac{25}{9}x_C^2=25

    vale a dire

    x_C=\pm 3

    e abbiamo così due circonferenze speculari rispetto alla retta tangente, sostituendo tali valori nell'equazione

    (x-x_C)^2+\left(y+\frac{4}{3}x_C-4\right)^2=r^2

    A te l'onore di dare il colpo di grazia all'esercizio. Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
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