Fascio di circonferenze e circonferenze tangenti

In questo genere di esercizi è essenziale imboccare il giusto ragionamento iniziale, dopodiché il gioco è fatto. :)

Apparentemente abbiamo pochi dati: sappiamo che c'è una retta tangente a tutte le circonferenze del fascio da determinare

e che il punto di tangenza ha ascissa , cosicché la corrispondente ordinata, per sostituzione, è data da

cioè . Tutto qui.

Eppure, se osserviamo che il raggio che congiunge il punto di tangenza al centro della circonferenza è perpendicolare alla retta tangente, siamo vicinissimi alla soluzione.

Questo perché, evidentemente, tutte le circonferenze del fascio devono avere i centri che si trovano su una stessa retta: la retta perpendicolare alla retta tangente e passante per il punto di tangenza .

Ricavare l'equazione della retta dei centri è semplice: basta considerare la generica equazione della retta passante per un punto

e ricordare che due rette perpendicolari hanno coefficienti angolari che sono l'uno opposto del reciproco dell'altro.

Scrivendo la retta tangente nella forma

si vede subito che il coefficiente angolare della retta dei centri è dato da , quindi la retta dei centri ha equazione

vale a dire

Consideriamo la generica equazione di una circonferenza:

noi sappiamo che le coordinate soddisfano l'equazione della retta dei centri, quindi

Sostituiamo tale espressione di nell'equazione della generica circonferenza

A questo punto ci ricordiamo che ognuna delle circonferenze del fascio passa per il punto di tangenza, quindi le coordinate di devono verificarne l'equazione

Imponendo, come richiesto dall'esercizio, che il raggio misuri 5, troviamo

vale a dire

e abbiamo così due circonferenze speculari rispetto alla retta tangente, sostituendo tali valori nell'equazione

A te l'onore di dare il colpo di grazia all'esercizio. 

Namasté!