Dimostrazione del teorema Ponte

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Ciao a tutti, volevo congratularmi per i creatori e collebboratori del sito, perchè è veramente una gran figata Laughing ! Ho cercato qualcosa al riguardo del teorema Ponte prima di scrivere la domanda ma non ho trovato nulla (almeno credo)...la mia domanda è: come si può dimostrare il teorema Ponte che lega limiti di funzioni con limiti di successioni? Non ho trovato nel mio libro (Bertsch) una vera e propria dimostrazione. Grazie in anticipo Smile

Domanda di legend57

 
Soluzioni

  • Ciao legend57 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Teorema:

    Siano

    •f: A\to \mathbb{R} 

    •x_0, \ell \in \mathbb{R}\cup {\pm \infty}

    Si ha che:

    1.\lim_{x\to x_0}f(x)= \ell

    se e solo se:

    2. \forall \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset A\setminus\{x_0\}\mbox{ tale che se }x_n\to x_0\implies f(x_n)\to \ell

    Dimostrerò solo il caso in cui \ell è finito. il caso in cui è infinito si ottiene modificando a dovere la dimostrazione

    Dimostrazione:

    1. ==>2.

    Fissiamo \varepsilon\textgreater 0 per definizione di limite di funzione si ha che esiste \delta_\{\varepsilon}\textgreater 0 tale che:

    |x-x_0|\textless \delta_{\varepsilon}\implies 0\textless|f(x)-\ell|\varepsilon 

    Consideriamo ora la successione:

    \{x_n\}_{n}\subset A 

    tale che per ipotesi:

    x_n\to x_0

    Per la definizione di limite di successione si ha che:

    per ogni \varepsilon_1\textgreater 0 esiste n_{0}\in\mathbb{N} tale che per ogni n\textgreater n_0 si ha che:

    |x_n-x_0|\textless \varepsilon_1

    Ora cosa succede? Se prendiamo \varepsilon_1\textless \delta_\varepsilon allora:

    |x_n-x_0|\textless \varepsilon_1\textless\delta_{ \varepsilon}

    ma questo implica che:

    |f(x_n)-\ell|\textless \varepsilon

    Che è quello che volevamo dimostrare!! :D

    2.===>1.

    Procediamo per assurdo:

    Supponiamo per assurdo che 

    \lim_{x\to x_0}f(x)\ne \ell

    allora negando la definizione di limite di funzione avremo:

    \exists \varepsilon\textgreater 0 tale che \forall \delta\textgreater 0

    riusciremo a trovare x_\delta tale che:

    •0\textless|x_{\delta}-x_0|\textless \delta\qquad (1.1)

    • |f(x_{\delta})-\ell|\ge \varepsilon\qquad (1.2)

    Dall'arbitrarietà di \delta, scegliamo:

    \delta=\frac{1}{n}, al variare di n naturale.

    In corrispondenza di tali delta  troviamo i corrispondenti x_n:=x_{\delta} che soddisfano le condizioni (1.1) e (1.2).

    Allora si ha:

    0\textless|x_{n}-x_0|\textless\frac{1}{n}

    |f(x_n)-\ell|\ge \varepsilon\implies \lim_{n\to \infty}f(x_n)\ne \ell

    Ma questo contraddice l'ipotesi che

    \forall \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset A\setminus\{x_0\}\mbox{ tale che se }x_n\to x_0\implies f(x_n)\to \ell

    Abbiamo raggiunto l'assurdo :)

    ---

    Sicuro che non ci fosse nulla? :)

    Un'altra dimostrazione del teorema ponte - click!

    Risposta di Ifrit
 
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