Ciao legend57 arrivo :D
Teorema:
Siano
•
•
Si ha che:
1.
se e solo se:
2.
Dimostrerò solo il caso in cui
è finito. il caso in cui è infinito si ottiene modificando a dovere la dimostrazione
Dimostrazione:
1. ==>2.
Fissiamo
per definizione di limite di funzione si ha che esiste
tale che:
Consideriamo ora la successione:
tale che per ipotesi:
Per la definizione di limite di successione si ha che:
per ogni
esiste
tale che per ogni
si ha che:
Ora cosa succede? Se prendiamo
allora:
ma questo implica che:
Che è quello che volevamo dimostrare!! :D
2.===>1.
Supponiamo per assurdo che
allora negando la definizione di limite di funzione avremo:
tale che
riusciremo a trovare
tale che:
•
•
Dall'arbitrarietà di
, scegliamo:
, al variare di n naturale.
In corrispondenza di tali delta troviamo i corrispondenti
che soddisfano le condizioni (1.1) e (1.2).
Allora si ha:
Ma questo contraddice l'ipotesi che
Abbiamo raggiunto l'assurdo :)
---
Sicuro che non ci fosse nulla? :)
Un'altra dimostrazione del teorema ponte - click!
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