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  • Ciao legend57 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Teorema:

    Siano

    f: A → R 

    x_0, ell ∈ R U ±∞

    Si ha che:

    1.lim_(x → x_0)f(x) = ell

    se e solo se:

    2.∀ x_n_(n∈N) ⊂ A setminusx_0 tale che se x_n → x_0 ⇒ f(x_n) → ell

    Dimostrerò solo il caso in cui ell è finito. il caso in cui è infinito si ottiene modificando a dovere la dimostrazione

    Dimostrazione:

    1. ==>2.

    Fissiamo ε > 0 per definizione di limite di funzione si ha che esiste δ_ε > 0 tale che:

    |x-x_0| < δ_(ε) ⇒ 0 < |f(x)- ell|ε 

    Consideriamo ora la successione:

    x_n_(n) ⊂ A 

    tale che per ipotesi:

    x_n → x_0

    Per la definizione di limite di successione si ha che:

    per ogni ε_1 > 0 esiste n_(0)∈N tale che per ogni n > n_0 si ha che:

    |x_n-x_0| < ε_1

    Ora cosa succede? Se prendiamo ε_1 < δ_ε allora:

    |x_n-x_0| < ε_1 < δ_(ε)

    ma questo implica che:

    |f(x_n)- ell| < ε

    Che è quello che volevamo dimostrare!! :D

    2.===>1.

    Procediamo per assurdo:

    Supponiamo per assurdo che 

    lim_(x → x_0)f(x) ne ell

    allora negando la definizione di limite di funzione avremo:

    ∃ ε > 0 tale che ∀ δ > 0

    riusciremo a trovare x_δ tale che:

    0 < |x_(δ)-x_0| < δ qquad (1.1)

    |f(x_(δ))- ell| ≥ ε qquad (1.2)

    Dall'arbitrarietà di δ, scegliamo:

    δ = (1)/(n), al variare di n naturale.

    In corrispondenza di tali delta  troviamo i corrispondenti x_n: = x_(δ) che soddisfano le condizioni (1.1) e (1.2).

    Allora si ha:

    0 < |x_(n)-x_0| < (1)/(n)

    |f(x_n)- ell| ≥ ε ⇒ lim_(n → ∞)f(x_n) ne ell

    Ma questo contraddice l'ipotesi che

    ∀ x_n_(n∈N) ⊂ A setminusx_0 tale che se x_n → x_0 ⇒ f(x_n) → ell

    Abbiamo raggiunto l'assurdo :)

    ---

    Sicuro che non ci fosse nulla? :)

    Un'altra dimostrazione del teorema ponte - click!

    Risposta di Ifrit
 
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