Dimostrazione del teorema Ponte

Teorema:

Siano

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•

Si ha che:

1.

se e solo se:

2.

Dimostrerò solo il caso in cui è finito. il caso in cui è infinito si ottiene modificando a dovere la dimostrazione

Dimostrazione:

1. ==>2.

Fissiamo per definizione di limite di funzione si ha che esiste tale che:

Consideriamo ora la successione:

tale che per ipotesi:

Per la definizione di limite di successione si ha che:

per ogni esiste tale che per ogni si ha che:

Ora cosa succede? Se prendiamo allora:

ma questo implica che:

Che è quello che volevamo dimostrare!! :D

2.===>1.

Procediamo per assurdo:

Supponiamo per assurdo che 

allora negando la definizione di limite di funzione avremo:

tale che

riusciremo a trovare tale che:

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Dall'arbitrarietà di , scegliamo:

, al variare di n naturale.

In corrispondenza di tali delta  troviamo i corrispondenti che soddisfano le condizioni (1.1) e (1.2).

Allora si ha:

Ma questo contraddice l'ipotesi che

Abbiamo raggiunto l'assurdo :)

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Sicuro che non ci fosse nulla? :)

Un'altra dimostrazione del teorema ponte - click!