Soluzioni
  • Per il dominio dobbiamo imporre che il radicando della radice sia maggiore di zero:

    \frac{x^2-4x+3}{x+1}\ge 0

    e ovviamente il denominatore del radicando diverso da 0:

    x+1\ne 0\implies x\ne -1

    Risolviamo la disequazione fratta, studiando separatamente il segno del numeratore e del denominatore:

    x^2-4x+3\ge 0

    Consideriamo l'equazione associata:

    x^2-4x+3=0

    Determiniamo il discriminante e le eventuali radici:

    \Delta= 16-12= 4

    Le soluzioni della equazione associata sono reali e distinte:

    \\ x_1= \frac{4-2}{2}=1\\ \\ x_2= \frac{4+2}{2}=3

    Poiché il coefficiente direttore è positivo, così come il discriminante, allora le soluzioni della disequazione sono esterne:

    S=x\le 1\vee x\ge 3

    Consideriamo ora il denominatore:

    x+1\textgreater 0\implies x\textgreater -1

    Tabuliamo i segni:

    N: + + +(-1) + + + + 1 - - - - - - - - - - - 3 + + + + + + + +

    D:- - - - -(-1) + + + + + +  + + + + + + +  + + + + + + +

    tot:- - - - (-1)+ + + + 1 -  - - -- - - - - - -3 + + + + + + + +

    A noi interessano le parti non negative:

    \mbox{dom}(f)= ]-1, 1]\cup [3, +\infty)

    L'insieme dei punti di accumulazione (insieme derivato) è

    D(Dom(f))[-1, 1]\cup [3, +\infty]

    Questo perché -1 è un punto d'aderenza del dominio della funzione.

    L'insieme in questione non è superiormente limitato, basti osservare che l'ultimo estremo è +\infty.

    Osservando che la funzione argomento della arcotangente è non negativa e osservando che f(0)=0

    \lim_{x\to \infty}\sqrt{\frac{x^2-4x+3}{x+1}}= +\infty

    allora:

    \lim_{x\to \infty}\arctan\sqrt{\frac{x^2-4x+3}{x+1}}= [\arctan(+\infty)]= \frac{\pi}{2}

    Si ha che l'immagine della funzione è 

    Im(f)=\left[0, \frac{\pi}{2}\right)

    Studio dell'uniforme continuità

    Per studiare l'uniforme continuità ragioniamo sui vari intervalli che costituiscono il dominio, e per farlo ci appoggiamo ad alcune condizioni sufficienti per la continuità uniforme.

    Per il teorema dell'asintoto la funzione è uniformemente continua in [3, +\infty)

    Inoltre, poiché

    \lim_{x\to -1^+}f(x)=\frac{\pi}{2}

    allora la funzione è prolungabile con continuità in x=-1 semplicemente ponendo:

    f(-1)=\frac{\pi}{2}

    La funzione:

    \tilde{f}(x):=\begin{cases}\arctan\left(\sqrt{\frac{x^2-4x+3}{x+1}}\right)&\mbox{ se }x\textgreater -1\\ \frac{\pi}{2}&\mbox{ se }x= -1\end{cases}

    è quindi continua in [-1,1] che è un compatto, e per il teorema di Heine Cantor, la funzione è uniformemente continua in tale insieme.

    Esercizio tosto, ma estremamente carino. :)

    Risposta di Ifrit
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