Domanda di verifica su parità, segno e limite

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Ecco una domanda a risposta multipla sulle funzioni e in particolare su parità segno e limiti: devo dire quali affermazioni sono vere o false.

 

g(x) = ln(x-2), h(x) = sin(x)-x^2

 

Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

 

  • h è pari
  • g cambia segno
  • h(g(x)) > 0
  • limx→∞ h(x)/x2 = 0
Domanda di Lorenzo

 
Soluzioni

  • Ciao Lorenzo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Andiamo con ordine: tutto quello che serve dal punto di vista torico/pratico lo trovi qui

    https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/le-funzioni-da-r-a-r-in-generale.html

    1) La funzione h(x) = sin(x)-x^2 è pari?

    No, perché se consideriamo

    h(-x) = sin(-x)-(-x)^2 = -sin(x)-x^2 ≠ h(x)

    e affinché una funzione f(x) possa dirsi pari è necessario e sufficiente che f(-x) = f(x)

    2) g(x) = ln(x-2) cambia segno?

    Sì, infatti ha dominio Dom(g) = x > 2 e si annulla in x = 3. Per x∈ (2,3) è negativa, per x > 3 è positiva.

    3) h(g(x)) > 0

    Basta considerare la composizione delle due funzioni nell'ordine indicato

    h(g(x)) = sin((ln(x-2)))-ln^2(x-2)

    l'esercizio richiede di risolvere la disequazione?

    4) Calcolare

    lim_(x → ∞)(h(x))/(x^2) =

    = lim_(x → ∞)(sin(x)-x^2)/(x^2) =

    dividiamo termine a termine

    = lim_(x → ∞)(sin(x))/(x^2)-(x^2)/(x^2) =

    = lim_(x → ∞)(sin(x))/(x^2)-1 = -1

    perché sin(x)/x^2 è un rapporto tra una quantità limitata tra [-1,1] su tutto l'asse reale mentre per x → +∞ x^2 è un infinito.

    https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/limiti-continuita-e-asintoti/101-algebra-degli-infiniti-e-degli-infinitesimi.html

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • non mi chiede di svolgere la disequazione ma dire se è vero o falso che la funzione composta sia maggiore di zero.. percio la risposta è vero o falso ? :)

    Risposta di Lorenzo

  • Te l'ho chiesto perché quella disequazione non è risolubile analiticamente :) però possiamo dire con assoluta certezza che la funzione composta h(g(x)) non è strettamente positiva: basta osservare che la funzione g(x) ha come immagine tutto R, e che la funzione h(x) (che è definita sull'immagine di g(x)) è una funzione che assume valori sia positivi, che nulli, che negativi.

    Ad esempio, prova a valutare h(g(x)) in x = 3 Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Grazie mille :)

    Risposta di Lorenzo
 
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