Soluzioni
  • Ciao Lorenzo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Andiamo con ordine: tutto quello che serve dal punto di vista torico/pratico lo trovi qui

    https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/le-funzioni-da-r-a-r-in-generale.html

    1) La funzione h(x)=\sin{(x)}-x^2 è pari?

    No, perché se consideriamo

    h(-x)=\sin{(-x)}-(-x)^2=-\sin{(x)}-x^2\neq h(x)

    e affinché una funzione f(x) possa dirsi pari è necessario e sufficiente che f(-x)=f(x)

    2) g(x)=\ln{(x-2)} cambia segno?

    Sì, infatti ha dominio Dom(g)=\{x>2\} e si annulla in x=3. Per x\in (2,3) è negativa, per x>3 è positiva.

    3) h(g(x))>0

    Basta considerare la composizione delle due funzioni nell'ordine indicato

    h(g(x))=\sin{(\ln{(x-2)})}-\ln^2{(x-2)}

    l'esercizio richiede di risolvere la disequazione?

    4) Calcolare

    \lim_{x\to \infty}{\frac{h(x)}{x^2}}=

    =\lim_{x\to \infty}{\frac{\sin{(x)}-x^2}{x^2}}=

    dividiamo termine a termine

    =\lim_{x\to \infty}{\frac{\sin{(x)}}{x^2}-\frac{x^2}{x^2}}=

    =\lim_{x\to \infty}{\frac{\sin{(x)}}{x^2}-1}=-1

    perché \sin{x}/x^2 è un rapporto tra una quantità limitata tra [-1,1] su tutto l'asse reale mentre per x\to +\infty x^2 è un infinito.

    https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/limiti-continuita-e-asintoti/101-algebra-degli-infiniti-e-degli-infinitesimi.html

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • non mi chiede di svolgere la disequazione ma dire se è vero o falso che la funzione composta sia maggiore di zero.. percio la risposta è vero o falso ? :)

    Risposta di Lorenzo
  • Te l'ho chiesto perché quella disequazione non è risolubile analiticamente :) però possiamo dire con assoluta certezza che la funzione composta h(g(x)) non è strettamente positiva: basta osservare che la funzione g(x) ha come immagine tutto \mathbb{R}, e che la funzione h(x) (che è definita sull'immagine di g(x)) è una funzione che assume valori sia positivi, che nulli, che negativi.

    Ad esempio, prova a valutare h(g(x)) in x=3 Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille :)

    Risposta di Lorenzo
 
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