Soluzioni
  • \mathbb{R}^{2,2} è l'insieme delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali, e

    T=\left\{A \in \mathbb{R}^{2,2} \ | \ A \begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1\end{pmatrix} = O_2\right\}

    è un suo sottoinsieme.

    Se non fosse chiaro, T è l'insieme delle matrici quadrate 2x2 tali che il loro prodotto riga per colonna con la matrice

    \begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1\end{pmatrix}

    restituisce la matrice nulla di ordine 2

    O_2=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0\end{pmatrix}

    Quando non viene specificato altro, si intende \mathbb{R}^{2,2} come spazio vettoriale su \mathbb{R} rispetto alle operazioni di somma tra matrici e di prodotto di uno scalare per una matrice che, da qui in poi, indichiamo con + e con \cdot.

    Per verificare che T è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^{2,2} dobbiamo provare che T è chiuso sia rispetto a + che rispetto a \cdot, ossia:

    (a) per ogni A+B \in T la loro somma A+B deve appartenere a T;

    (b) per ogni \lambda \in \mathbb{R} e per ogni A\in T la matrice \lambda \cdot A dev'essere un elemento di T.

    Prima di procedere con la verifica diretta delle proprietà (a) e (b) è sempre bene stabilire se l'elemento neutro di \mathbb{R}^{2,2} rispetto alla somma appartiene a T, perché se così non fosse potremmo immediatamente concludere che T non è un sottospazio.

    Purtroppo non è questo il caso, infatti la matrice nulla di ordine 2, elemento neutro di \mathbb{R}^{2,2} rispetto a +, appartiene a T.

    Procediamo allora con la verifica delle condizioni (a) e (b).

    Chiusura rispetto alla somma

    Siano A,B \in T. La loro somma appartiene a T se e solo se

    (A+B)\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1\end{pmatrix} = O_2

    Le matrici A,B appartengono a T, per cui

    A\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1\end{pmatrix}=O_2 \ \ \ ; \ \ \ B\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1\end{pmatrix}=O_2

    Osserviamo ora che:

    (A+B)\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1\end{pmatrix} =

    per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma

    \\ =A\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1\end{pmatrix} + B \begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1\end{pmatrix}= \\ \\ =O_2+O_2=O_2

    Abbiamo così dimostrato che T è chiuso rispetto alla somma.

    Chiusura rispetto al prodotto

    Siano \lambda \in \mathbb{R} e A \in T. La matrice prodotto \lambda \cdot A appartiene a T se e solo se

    (\lambda \cdot A)\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1\end{pmatrix} = O_2

    Per una delle proprietà del prodotto di una matrice per uno scalare

    (\lambda \cdot A)\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1\end{pmatrix} = \lambda \cdot \left[A\begin{pmatrix}1&1 \\ 1&1\end{pmatrix}\right] =

    ricordando che A è un elemento di T

    =\lambda \cdot O_2 = O_2

    Ciò dimostra la chiusura di T rispetto al prodotto, e quindi T è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^{2,2}.

    È tutto!

    Risposta di Galois
 
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