Sottospazio vettoriale dello spazio di matrici M2(R)

Devo svolgere un esercizio sulla verifica dei sottospazi vettoriali, ma non ho capito praticamente nulla. L'insieme assegnato è un insieme di matrici quadrate di ordine 2, e non so neanche da dove partire.

Verificare che

T = A ∈ R^(2,2) | A [1 1 ; 1 1] = O_2

è un sottospazio vettoriale di R^(2,2).

Domanda di screative
Soluzione

R^(2,2) è l'insieme delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali, e

T = A ∈ R^(2,2) | A [1 1 ; 1 1] = O_2

è un suo sottoinsieme.

Se non fosse chiaro, T è l'insieme delle matrici quadrate 2x2 tali che il loro prodotto riga per colonna con la matrice

[1 1 ; 1 1]

restituisce la matrice nulla di ordine 2

O_2 = [0 0 ; 0 0]

Quando non viene specificato altro, si intende R^(2,2) come spazio vettoriale su R rispetto alle operazioni di somma tra matrici e di prodotto di uno scalare per una matrice che, da qui in poi, indichiamo con + e con ·.

Per verificare che T è un sottospazio vettoriale di R^(2,2) dobbiamo provare che T è chiuso sia rispetto a + che rispetto a ·, ossia:

(a) per ogni A+B ∈ T la loro somma A+B deve appartenere a T;

(b) per ogni λ ∈ R e per ogni A∈ T la matrice λ·A dev'essere un elemento di T.

Prima di procedere con la verifica diretta delle proprietà (a) e (b) è sempre bene stabilire se l'elemento neutro di R^(2,2) rispetto alla somma appartiene a T, perché se così non fosse potremmo immediatamente concludere che T non è un sottospazio.

Purtroppo non è questo il caso, infatti la matrice nulla di ordine 2, elemento neutro di R^(2,2) rispetto a +, appartiene a T.

Procediamo allora con la verifica delle condizioni (a) e (b).

Chiusura rispetto alla somma

Siano A,B ∈ T. La loro somma appartiene a T se e solo se

(A+B)[1 1 ; 1 1] = O_2

Le matrici A,B appartengono a T, per cui

A[1 1 ; 1 1] = O_2 ; B[1 1 ; 1 1] = O_2

Osserviamo ora che:

(A+B)[1 1 ; 1 1] =

per la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma

 = A[1 1 ; 1 1]+B [1 1 ; 1 1] = O_2+O_2 = O_2

Abbiamo così dimostrato che T è chiuso rispetto alla somma.

Chiusura rispetto al prodotto

Siano λ ∈ R e A ∈ T. La matrice prodotto λ·A appartiene a T se e solo se

(λ·A)[1 1 ; 1 1] = O_2

Per una delle proprietà del prodotto di una matrice per uno scalare

(λ·A)[1 1 ; 1 1] = λ·[A[1 1 ; 1 1]] =

ricordando che A è un elemento di T

= λ·O_2 = O_2

Ciò dimostra la chiusura di T rispetto al prodotto, e quindi T è un sottospazio vettoriale di R^(2,2).

È tutto!

Risposta di: Giuseppe Carichino (Galois)
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