Soluzioni
  • Ciao Screative, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Abbiamo il sottoinsieme U\subseteq M_{2}(\mathbb{R}) definito da

    U:=\left\{A\in M_2(\mathbb{R})\mbox{ t.c. }A\left[\begin{matrix}1&1\\ 1&1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0&0\\ 0&0\end{matrix}\right]\right\}

    cioè l'insieme delle matrici 2x2 tali da mandare la matrice B=(1)_{i,j=1,2} nella matrice identicamente nulle. Ci viene richiesto di provare che tale insieme è un sottospazio vettoriale di M_2(\mathbb{R}).

    Per provarlo, dobbiamo far vedere che:

    1) la matrice identicamente nulla appartiene ad U, il che è evidentemente vero;

    2) U è chiuso rispetto alla somma di suoi elementi, ovvero comunque prese due matrici 2x2 A,A'\in U risulta che A+A'\in U

    Per vederlo, basta mostrare che la matrice A+A' moltiplicata per la matrice B dà come risultato la matrice identicamente nulla (che nel seguito indichiamo con 0_{U}). Tale proprietà è verificata, e discende direttamente dalla distributività del prodotto di matrici rispetto alla somma di matrice e dal fatto che A,A'\in U, cosicché AB=0=A'B

    (A+A')B=AB+A'B=0_U+0_U=0_U

    3) U è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare reale.

    Per provarlo, basta considerare un generico \alpha\in\mathbb{R} e mostrare che comunque presa A\in U risulta che la matrice \alpha A\in U. Tale proprietà è immediata

    (\alpha A)B=\alpha (AB)=\alpha (0_{U})=0

    ---

    Abbiamo verificato che U\subseteq M_2{\mathbb{R}} è un sottospazio vettoriale dello spazio di matrici M_{2}(\mathbb{R})

    [Sugg.: per approfondire, prova a cercare "spazio vettoriale matrici" nella casella di ricerca presente nell'header]

    ---

    Determiniamo la dimensione di U: scrivendo una generica matrice A\in U nella forma

    \left[\begin{matrix}a&b\\ c&d\end{matrix}\right]

    consideriamo la proprietà che caratterizza gli elementi di U

    \left[\begin{matrix}a&b\\ c&d\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1&1\\ 1&1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0&0\\ 0&0\end{matrix}\right]

    da cui, sviluppando il prodotto riga per colonna, troviamo

    \left[\begin{matrix}a+b&a+b\\ c+d&c+d\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0&0\\ 0&0\end{matrix}\right]

    cioè

    a+b=0\to b=-a

    c+d=0\to d=-c

    Una generica matrice di U può essere scritta nella forma

    \left[\begin{matrix}a&-a\\ c&-c\end{matrix}\right]

    oppure, come combinazione lineare

    a\left[\begin{matrix}1&-1\\ 0&0\end{matrix}\right]+c\left[\begin{matrix}0&0\\ 1&-1\end{matrix}\right]

    Abbiamo quindi una base di U, data dai due elementi che compaiono nella comb. lineare generica, e ne deduciamo subito che dim(U)=2 in quanto le due matrici di cui sopra sono un sistema di generatori di U linearmente indipendenti.

    ---

    Come base di M_2(\mathbb{R}) con la richiesta che non contenga vettori di U, puoi prendere quella presentata qui

    https://www.youmath.it/forum/algebra-lineare/2922-spazi-vettoriali-di-matrici.html

    cioè la base canonica.

    ---

    [Sugg.: prova anche con una query di ricerca "spazi di matrici"]

    Wink

    Namasté!

    {/tex}

    Risposta di Omega
  • perfetto tutto molto chiaro grazie mille

    Risposta di screative
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