Convergenza semplice e assoluta di un integrale improprio

Devo calcolare la convergenza semplice e assoluta di un integrale improprio al variare di un parametro a. L'integrale improprio è:

Integrale da 0 a 1 di 1 / [ x^a |log(2e^(2x) - cos(2x) - 4x) - 6x^2| ] dx

Mi è consigliato di fare lo sviluppo di Mc Laurin fino al 4 ordine per discutere con il risultato. Gentilmente mi potete aiutare nello svolgimento di questo integrale improprio? Grazie mille.

Domanda di frascatano
Soluzioni

Ciao frascatano arrivo :D

Risposta di Ifrit

Prima di procedere vorrei conferme:

∫_0^1(1)/(x^a)|ln(2e^(2x)-cos(2x)-4x)-6x^2|dx

Corretto? :)

Risposta di Ifrit

Ci sei? :P

Risposta di Ifrit

Vabbé io procedo :P

∫_0^1(1)/(x^a)|ln(2e^(2x)-cos(2x)-4x)-6x^2|dx

Iniziamo:

e^(2x) = 1+2x+2x^2+(4x^3)/(3)+(2x^4)/(3)+o(x^4)

cos(2x) = 1-2x^2+(2x^4)/(3)+o(x^4)

Di conseguenza:

2e^(2x)-cos(2x)-4x = 1+6x^2+(8x^3)/(3)+(2x^4)/(3)+o(x^4)

Di conseguenza:

ln(2e^(2x)-cos(2x)-4x) = ln(1+6x^2+(8x^3)/(3)+(2x^4)/(3)+o(x^4)) =

= 6x^2+(8x^3)/(3)-(52x^4)/(3)+o(x^4)

Dunque:

ln(2e^(2x)-cos(2x)-4x)-6x^2 = (8x^3)/(3)-(52x^4)/(3)+o(x^4)

In realtà potevamo fare a meno di sviluppare fino all'ordine 4, potevamo fermarci all'ordine 3:

Per il criterio del confronto asintotico per integrali di seconda specie abbiamo che l'integrale di partenza converge se e solo se:

∫_0^1(8x^3)/(3x^a)dx

converge, cioè:

∫_0^1(8)/(3x^(a-3))dx

Questo è un integrale improprio notevole e converge se e solo se 

a-3 < 1 ⇒ a < 4

Ti torna?

Risposta di Ifrit

scusami se non ti ho risp. mi stavo preparando per andare dal dentista. cmq metto problema risolto, appena torno lo guardo, grazie di cuore

Risposta di frascatano

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