Convergenza semplice e assoluta di un integrale improprio

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Devo calcolare la convergenza semplice e assoluta di un integrale improprio al variare di un parametro a. L'integrale improprio è:

 

Integrale da 0 a 1 di 1 / [ x^a |log(2e^(2x) - cos(2x) - 4x) - 6x^2| ] dx

 

Mi è consigliato di fare lo sviluppo di Mc Laurin fino al 4 ordine per discutere con il risultato. Gentilmente mi potete aiutare nello svolgimento di questo integrale improprio? Grazie mille.

Domanda di frascatano

 
Soluzioni

  • Ciao frascatano arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Prima di procedere vorrei conferme:

    ∫_0^1(1)/(x^a)|ln(2e^(2x)-cos(2x)-4x)-6x^2|dx

     

    Corretto? :)

    Risposta di Ifrit

  • Ci sei? :P

    Risposta di Ifrit

  • Vabbé io procedo :P

    ∫_0^1(1)/(x^a)|ln(2e^(2x)-cos(2x)-4x)-6x^2|dx

    Iniziamo:

    e^(2x) = 1+2x+2x^2+(4x^3)/(3)+(2x^4)/(3)+o(x^4)

    cos(2x) = 1-2x^2+(2x^4)/(3)+o(x^4)

    Di conseguenza:

    2e^(2x)-cos(2x)-4x = 1+6x^2+(8x^3)/(3)+(2x^4)/(3)+o(x^4)

    Di conseguenza:

    ln(2e^(2x)-cos(2x)-4x) = ln(1+6x^2+(8x^3)/(3)+(2x^4)/(3)+o(x^4)) =

    = 6x^2+(8x^3)/(3)-(52x^4)/(3)+o(x^4)

    Dunque:

    ln(2e^(2x)-cos(2x)-4x)-6x^2 = (8x^3)/(3)-(52x^4)/(3)+o(x^4)

    In realtà potevamo fare a meno di sviluppare fino all'ordine 4, potevamo fermarci all'ordine 3:

    Per il criterio del confronto asintotico per integrali di seconda specie abbiamo che l'integrale di partenza converge se e solo se:

    ∫_0^1(8x^3)/(3x^a)dx

    converge, cioè:

    ∫_0^1(8)/(3x^(a-3))dx

    Questo è un integrale improprio notevole e converge se e solo se 

    a-3 < 1 ⇒ a < 4

    Ti torna?

    Risposta di Ifrit

  • scusami se non ti ho risp. mi stavo preparando per andare dal dentista. cmq metto problema risolto, appena torno lo guardo, grazie di cuore

    Risposta di frascatano
 
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