Convergenza semplice e assoluta di un integrale improprio

Devo calcolare la convergenza semplice e assoluta di un integrale improprio al variare di un parametro a. L'integrale improprio è:

 

Integrale da 0 a 1 di 1 / [ x^a |log(2e^(2x) - cos(2x) - 4x) - 6x^2| ] dx

 

Mi è consigliato di fare lo sviluppo di Mc Laurin fino al 4 ordine per discutere con il risultato. Gentilmente mi potete aiutare nello svolgimento di questo integrale improprio? Grazie mille.

In Uni - Analisi - Domanda di frascatano

Soluzioni

  • Ciao frascatano arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Prima di procedere vorrei conferme:

    \int_0^1\frac{1}{x^a}|\ln(2e^{2x}-\cos(2x)-4x)-6x^2|dx

     

    Corretto? :)

    Risposta di Ifrit

  • Ci sei? :P

    Risposta di Ifrit

  • Vabbé io procedo :P

    \int_0^1\frac{1}{x^a}\left|\ln(2e^{2x}-\cos(2x)-4x)-6x^2\right|dx

    Iniziamo:

    e^{2x}=1+2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)

    \cos(2x)=1-2x^2+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)

    Di conseguenza:

    2e^{2x}-\cos(2x)-4x=1+6x^2+\frac{8x^3}{3}+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)

    Di conseguenza:

    \ln(2e^{2x}-\cos(2x)-4x)=\ln(1+6x^2+\frac{8x^3}{3}+\frac{2x^4}{3}+o(x^4))=

    = 6x^2+\frac{8x^3}{3}-\frac{52x^4}{3}+o(x^4)

    Dunque:

    \ln(2e^{2x}-\cos(2x)-4x)-6x^2= \frac{8x^3}{3}-\frac{52x^4}{3}+o(x^4)

    In realtà potevamo fare a meno di sviluppare fino all'ordine 4, potevamo fermarci all'ordine 3:

    Per il criterio del confronto asintotico per integrali di seconda specie abbiamo che l'integrale di partenza converge se e solo se:

    \int_0^1\frac{8x^3}{3x^a}dx

    converge, cioè:

    \int_0^1\frac{8}{3x^{a-3}}dx

    Questo è un integrale improprio notevole e converge se e solo se 

    a-3\textless 1\implies a\textless 4

    Ti torna?

    Risposta di Ifrit

  • scusami se non ti ho risp. mi stavo preparando per andare dal dentista. cmq metto problema risolto, appena torno lo guardo, grazie di cuore

    Risposta di frascatano
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