Soluzioni
  • L'integrale definito

    \int_{3}^{4}(x-1)\ln(x^2-2)dx

    può essere affrontato mediante il metodo di integrazione per parti.

    Procediamo per parti prendendo come fattore finito, di cui è facile trovare la derivata la funzione f(x)=\ln(x^2-2) e come fattore differenziale, facile da integrare g'(x)=x-1

    Deriviamo f(x) facendo intervenire la regola per la derivata delle funzioni composte:

    f(x)=\ln(x^2-2)\implies f'(x)=\frac{2x}{x^2-2}

    Naturalmente, per giungere al risultato corretto è necessario conoscere la derivata del logaritmo.

    Scriviamo una primitiva di g'(x) che possiamo ottenere mediante la formula di integrazione delle potenze

    g'(x)=x-1\implies g(x)=\frac{x^2}{2}-x=\frac{x^2-2x}{2}

    Ora abbiamo a disposizione tutti gli ingredienti per poter usare la formula di integrazione per parti

    \\ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx= \\ \\ \\ =\frac{x^2-2x}{2}\ln(x^2-2)-\int\frac{2x}{x^2-2}\cdot \frac{x^2-2x}{2}dx= \\ \\ \\ = (x-1)\ln(x^2-2)-\int\frac{x^3-2x^2}{x^2-2}dx

    Occupiamoci dell'integrale rimasto

    \int\frac{x^3-2x^2}{x^2-2}dx=(\bullet)

    Esso è evidentemente un integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del polinomio al numeratore è maggiore di quello del polinomio al denominatore: sotto queste condizioni è consigliabile effettuare la divisione polinomiale, grazie alla quale possiamo determinare il polinomio quoziente e il polinomio resto

    Q(x)=x-2\mbox{  e  }R(x)=2x-4

    ed esprimere l'integrale (\bullet) come segue:

    \int \left(x-2+\frac{2x-4}{x^2-2}\right)dx=

    Mediante la linearità dell'integrale, possiamo riscriverlo come somma degli integrali dei singoli addendi

    \\ =\int xdx-2\int dx+\int\frac{2x-4}{x^2-2}dx= \\ \\ \\ =\frac{x^2}{2}-2x+\int\frac{2x}{x^2-2}dx-4\int\frac{1}{x^2-2}dx

    Osserviamo che \int\frac{2x}{x^2-2}dx=\ln(|x^2-2|)+c infatti è un integrale notevole in forma generale il cui risultato è un logaritmo.

    Il secondo integrale si risolve invece per mezzo del metodo dei fratti semplici, e per innescarlo scomponiamo il denominatore dell'integranda vedendolo come una differenza di quadrati. È chiaro che 2 è il quadrato della radice quadrata di 2, ossia 2=(\sqrt{2})^2, conseguentemente:

    \frac{1}{x^2-2}=\frac{1}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}

    Il nostro obiettivo ora è quello di determinare due costanti reali A\mbox{ e }B, tali che soddisfino l'identità:

    \frac{1}{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}=\frac{A}{x-\sqrt{2}}+\frac{B}{x+\sqrt{2}}

    che, con semplici manipolazioni algebriche, diventa

    Ax+\sqrt{2}A+Bx-\sqrt{2}B=1

    Raccogliamo parzialmente secondo le potenze di x

    (A+B)x+\sqrt{2}(A-B)=1

    e con il principio di identità dei polinomi costruiamo il seguente sistema lineare:

    \begin{cases}A+B=0\\ \sqrt{2}(A-B)=1\end{cases}

    avente per soluzione la coppia A=\frac{1}{2\sqrt{2}}, \ \ B=-\frac{1}{2\sqrt{2}}

    In definitiva

    \\ \int\frac{1}{x^2-2}dx=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int \frac{1}{x-\sqrt{2}}dx-\frac{1}{2\sqrt{2}}\int\frac{1}{x+\sqrt{2}}dx= \\ \\ \\ = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln(|x-\sqrt{2}|)-\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln(|x+\sqrt{2}|)+c=

    Grazie alle proprietà dei logaritmi possiamo esprimere il risultato dell'ultimo integrale come segue

    =\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left(\left|\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\right|\right)+c

    con c costante additiva reale.

    Ora possiamo finalmente scrivere una primitiva di y=(x-1)\ln(x^2-2)

    \\ \int (x-1)\ln(x^2-2)dx= \\ \\ \\ =\frac{x^2-2x}{2}\ln(x^2-2)+\\ \\ \\ -\left(\frac{x^2}{2}-2x+\ln(|x^2-2|)+4\cdot\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left(\left|\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\right|\right)\right)+c

    e grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo concludere che

    \\ \int_{3}^{4}(x-1)\ln(x^2-2)dx=\\ \\ \\ =\left[\frac{x^2-2x}{2}\ln(x^2-2)-\left(\frac{x^2}{2}-2x+\ln(|x^2-2|)+\frac{4}{2\sqrt{2}}\ln\left(\left|\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}\right|\right)\right)\right]_{x=3}^{x=4}= \\ \\ \\ = -\frac{3}{2}-\frac{\ln(7)}{2}+3\ln(14)-\sqrt{2}\ln\left(\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\right)+\sqrt{2}\ln\left(\frac{4-\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}}\right)

    Finalmente abbiamo raggiunto il risultato dell'esercizio. ;)

    Risposta di Ifrit
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