Integrale di un prodotto con integrazione per parti

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Come si applica l'integrazione per parti nel calcolo del seguente integrale definito che ha per integranda un prodotto tra un polinomio e logaritmo?

 

∫_(3)^(4)(x-1)ln(x^2-2)dx

 

Non so proprio come muovermi, i logaritmi mi danno sempre problemi negli integrali.

Grazie mille a chi mi risponderà.

Domanda di Lorenzo

 
Soluzioni

  • L'integrale definito

    ∫_(3)^(4)(x-1)ln(x^2-2)dx

    può essere affrontato mediante il metodo di integrazione per parti.

    Procediamo per parti prendendo come fattore finito, di cui è facile trovare la derivata la funzione f(x) = ln(x^2-2) e come fattore differenziale, facile da integrare g'(x) = x-1

    Deriviamo f(x) facendo intervenire la regola per la derivata delle funzioni composte:

    f(x) = ln(x^2-2) ⇒ f'(x) = (2x)/(x^2-2)

    Naturalmente, per giungere al risultato corretto è necessario conoscere la derivata del logaritmo.

    Scriviamo una primitiva di g'(x) che possiamo ottenere mediante la formula di integrazione delle potenze

    g'(x) = x-1 ⇒ g(x) = (x^2)/(2)-x = (x^2-2x)/(2)

    Ora abbiamo a disposizione tutti gli ingredienti per poter usare la formula di integrazione per parti

    ∫ f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)-∫ f'(x)g(x)dx = (x^2-2x)/(2)ln(x^2-2)-∫(2x)/(x^2-2)·(x^2-2x)/(2)dx = (x-1)ln(x^2-2)-∫(x^3-2x^2)/(x^2-2)dx

    Occupiamoci dell'integrale rimasto

    ∫(x^3-2x^2)/(x^2-2)dx = (•)

    Esso è evidentemente un integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del polinomio al numeratore è maggiore di quello del polinomio al denominatore: sotto queste condizioni è consigliabile effettuare la divisione polinomiale, grazie alla quale possiamo determinare il polinomio quoziente e il polinomio resto

    Q(x) = x-2 e R(x) = 2x-4

    ed esprimere l'integrale (•) come segue:

    ∫ (x-2+(2x-4)/(x^2-2))dx =

    Mediante la linearità dell'integrale, possiamo riscriverlo come somma degli integrali dei singoli addendi

    = ∫ xdx-2∫ dx+∫(2x-4)/(x^2-2)dx = (x^2)/(2)-2x+∫(2x)/(x^2-2)dx-4∫(1)/(x^2-2)dx

    Osserviamo che ∫(2x)/(x^2-2)dx = ln(|x^2-2|)+c infatti è un integrale notevole in forma generale il cui risultato è un logaritmo.

    Il secondo integrale si risolve invece per mezzo del metodo dei fratti semplici, e per innescarlo scomponiamo il denominatore dell'integranda vedendolo come una differenza di quadrati. È chiaro che 2 è il quadrato della radice quadrata di 2, ossia 2 = (√(2))^2, conseguentemente:

    (1)/(x^2-2) = (1)/((x-√(2))(x+√(2)))

    Il nostro obiettivo ora è quello di determinare due costanti reali A e B, tali che soddisfino l'identità:

    (1)/((x-√(2))(x+√(2))) = (A)/(x-√(2))+(B)/(x+√(2))

    che, con semplici manipolazioni algebriche, diventa

    Ax+√(2)A+Bx-√(2)B = 1

    Raccogliamo parzialmente secondo le potenze di x

    (A+B)x+√(2)(A-B) = 1

    e con il principio di identità dei polinomi costruiamo il seguente sistema lineare:

    A+B = 0 ; √(2)(A-B) = 1

    avente per soluzione la coppia A = (1)/(2√(2)), B = -(1)/(2√(2))

    In definitiva

    ∫(1)/(x^2-2)dx = (1)/(2√(2))∫ (1)/(x-√(2))dx-(1)/(2√(2))∫(1)/(x+√(2))dx = (1)/(2√(2))ln(|x-√(2)|)-(1)/(2√(2))ln(|x+√(2)|)+c =

    Grazie alle proprietà dei logaritmi possiamo esprimere il risultato dell'ultimo integrale come segue

    = (1)/(2√(2))ln(|(x-√(2))/(x+√(2))|)+c

    con c costante additiva reale.

    Ora possiamo finalmente scrivere una primitiva di y = (x-1)ln(x^2-2)

    ∫ (x-1)ln(x^2-2)dx = (x^2-2x)/(2)ln(x^2-2)+;-((x^2)/(2)-2x+ln(|x^2-2|)+4·(1)/(2√(2))ln(|(x-√(2))/(x+√(2))|))+c

    e grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo concludere che

    ∫_(3)^(4)(x-1)ln(x^2-2)dx = [(x^2-2x)/(2)ln(x^2-2)-((x^2)/(2)-2x+ln(|x^2-2|)+(4)/(2√(2))ln(|(x-√(2))/(x+√(2))|))]_(x = 3)^(x = 4) = -(3)/(2)-(ln(7))/(2)+3ln(14)-√(2)ln((3-√(2))/(3+√(2)))+√(2)ln((4-√(2))/(4+√(2)))

    Finalmente abbiamo raggiunto il risultato dell'esercizio. ;)

    Risposta di Ifrit
 
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