Soluzioni
  • La sommatoria permette di scrivere in modo compatto la somma di un numero finito o infinito di termini.

    Il simbolo di sommatoria è la lettera sigma maiuscola Σ ma scritto da solo non ha alcun significato; come mostrato nell'immagine seguente una sommatoria si compone di più parti, tutte indispensabili per poter poi calcolare la sommatoria.

     

    Sommatoria

     

    Un'espressione come quella dell'immagine si legge: somma per k che va da n ad m di f(k).

    Come possiamo osservare, oltre al simbolo di sommatoria abbiamo bisogno di:

    - una lettera, chiamata indice di sommatoria, utilizzato per definire l'espressione algebrica; le lettere che più si utilizzano per l'indice di sommatoria sono k, i e j.

    - Un'espressione algebrica che dipende dall'indice di sommatoria la quale ci dice come sono fatti i termini da sommare.

    - Due numeri naturali n ed m che esprimono l'intervallo di valori tra cui varia l'indice e quindi ci dicono quanti e quali sono gli addendi.

    Come vedremo tra poco nel dettaglio, spesso al numero naturale m si sostituisce il simbolo di infinito o, ancora, ci si può trovare di fronte a situazioni ancora più generali in cui l'indice di sommatoria non si limita a variare tra due numeri interi.

     

    Esempi di sommatorie

    Per non lasciare spazio a dubbi vediamo qualche esempio di sommatoria per poi spiegare come si procede concretamente al calcolo di una sommatoria.

    \sum_{k=0}^{11}k, \quad \sum_{k=3}^{8}[k-2], \quad \sum_{k|12} k^2, \quad \sum_{k\in \{4,16,36\}}\sqrt{k}, \quad \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k

    sono tutti esempi di sommatorie.

     

    Calcolo di una sommatoria

    Ora che è chiaro com'è fatta, vediamo come si calcola una sommatoria prendendo in esame gli esempi precedenti.

    Fatta eccezione per le sommatorie il cui simbolo in alto è ∞, per calcolare una sommatoria si dovranno sostituire nell'espressione algebrica i valori interi dell'intervallo tra cui varia l'indice, per poi sommare i termini così ottenuti. Procedendo in tal modo avremo:

    \sum_{k=0}^{11}k = 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 = 66

    Poiché l'indice di sommatoria k varia tra 0 ed 11, nell'espressione algebrica abbiamo sostituito al posto di k tutti i numeri naturali tra 0 ed 11 ottenendo così i vari termini da sommare.

    \begin{align*}\sum_{k=3}^{8}[k-2] & = (3-2)+(4-2)+(5-2)+(6-2)+(7-2)+(8-2)= \\ & =1+2+3+4+5+6=21\end{align*}

    I vari addendi sono stati ottenuti sostituendo al posto di k i numeri interi compresi tra 3 ed 8 che sono i valori tra cui varia l'indice k.

    \sum_{k|12} k^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2+6^2=1+4+9+16+36 = 66

    La scrittura k|12 è un modo compatto per indicare che k deve dividere 12; poiché i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4 e 6, per calcolare la precedente sommatoria nell'espressione algebrica (k2) abbiamo sostituito tali valori.

    \sum_{k\in\{4,16,36\}}\sqrt{k}= \sqrt{4}+\sqrt{16}+\sqrt{36} = 2+4+6=12

    In tal caso l'indice di sommatoria appartiene ad un insieme ben definito, quindi per calcolare la somma abbiamo sostituito gli elementi dell'insieme al posto di k.

     

    Sommatorie infinite

    Quando sopra al simbolo di sommatoria si trova il simbolo di infinito ci troviamo di fronte ad una somma di un numero infinito di termini. Per calcolare tali somme sarebbe impossibile procedere come fatto poc'anzi, ossia per sostituzione diretta dei valori dell'indice, in quanto tali valori sono infiniti.

    Tali sommatorie prendono il nome di serie numeriche e ad esse è dedicato un'intera parte del corso universitario di Analisi 1; per chi volesse saperne di più rimandiamo alla pagina del link. :)

     

    Proprietà della sommatoria

    La sommatoria, intesa come somma di un certo numero di addendi, gode di svariate proprietà che spesso agevolano il calcolo della somma e che elenchiamo qui di seguito.

    Proprietà associativa: se siamo in presenza di due o più sommatorie in cui gli indici hanno lo stesso intervallo di definizione, allora la somma algebrica delle sommatorie è uguale alla sommatoria della somma algebrica. 

    \sum_{k=n}^{m}f(k)\pm \sum_{k=n}^{m}g(k) = \sum_{k=n}^{m}[f(k)\pm g(k)]

    Proprietà dissociativa: la sommatoria di una somma algebrica equivale alla somma algebrica delle singole sommatorie.

    \sum_{k=n}^{m}[f(k)\pm g(k)] = \sum_{k=n}^{m}f(k)\pm \sum_{k=n}^{m}g(k)

    Proprietà distributiva: Si può estrarre un fattore che non dipende dall'indice dalla sommatoria o, equivalentemente, un fattore esterno alla sommatoria può essere portato al suo interno.

    \alpha \cdot \sum_{k=n}^{m}f(k) = \sum_{k=n}^{m}[\alpha \cdot f(k)]

    Scomposizione degli indici: una sommatoria si può scomporre nella somma di due o più sommatorie facendo variare in maniera opportuna l'intervallo di definizione dell'indice.

    \sum_{k=n}^{m_1+m_2}f(k) = \sum_{k=n}^{m_1}f(k)+\sum_{k=m_1+1}^{m_2}f(k)

    Traslazione degli indici: si può cambiare a piacimento l'intervallo di definizione dell'indice a patto, però, di far variare di conseguenza l'espressione algebrica della sommatoria.

    \sum_{k=n}^{m}f(k) = \sum_{k=n+\ell}^{m+\ell}f(k-\ell)

     

    Sommatorie in Word, Excel e LaTeX

    Per scrivere una sommatoria in Word o Excel è sufficiente:

    - cliccare su Inserisci nella barra multifunzionale (la prima barra in alto);

    - cliccare su Equazione o Simbolo e scegliere il simbolo di sommatoria.

    Invece, il codice LaTeX che permette di inserire una sommatoria è:

    \sum_{}^{} \left[ \right]

    dove \sum inserisce il simbolo di sommatoria, tra le prime due coppie di parentesi graffe si inseriscono i valori tra cui deve variare l'indice di sommatoria e tra \left[ e right], che producono una coppia di parentesi quadre, si scrive l'espressione algebrica della sommatoria.

     

    È davvero tutto! Per sapere cos'è una produttoria - click!

    Risposta di Galois
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi