Dubbio su sup e inf

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Ciao ragazzi , mi è venuto un dubbio su una domanda che avevo postato ieri : 

https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/4028-estremo-superiore-e-inferiore.html    

Volevo sapere perchè la successione è inferiormente limitata dal primo termine n = 2 

Per dire questo non dovrei dimostrare che la successione è monotona crescente ? Ho provato a farlo ma mi riesco difficile a causa del (-1)^(n+1)

Domanda di Bartez

 
Soluzioni

  • Ciao Bartez arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Il trucco da usare è il seguente:

    Poiché

    n-1 ≤ n-(-1)^(n+1) ≤ n+1 ∀ n∈ N

    si ha che:

    (n-1) (1+(1)/(n))^n ≤ (n-(-1)^(n+1)) (1+(1)/(n))^n ≤ (n+1) (1+(1)/(n))^n

    Sommando membro a membro per 3:

    (n-1) (1+(1)/(n))^n ≤ (n-(-1)^(n+1)) (1+(1)/(n))^n ≤ (n+1) (1+(1)/(n))^n

    Cambiando di segno membro a membro e invertendo le disuguaglianze:

    -(n-1) (1+(1)/(n))^n ≥ -(n-(-1)^(n+1)) (1+(1)/(n))^n ≥ -(n+1) (1+(1)/(n))^n

    Infine sommando membro a membro per 3:

    -(n-1) (1+(1)/(n))^n+3 ≥ -(n-(-1)^(n+1)) (1+(1)/(n))^n+3 ≥ -(n+1) (1+(1)/(n))^n+3


    Osserva ora che la successione -(n-1)(1+(1)/(n))^n+3 è una successione monotona decrescente e spinge la nostra successione a meno infinito. Inoltre maggiora la nostra successione strettamente quindi il suo estremo superiore coincide con l'estremo superiore della successione in questione.

     

    PS: Ricontrolla i conti di quella domanda, mi sa che qualcosa non torna :)

    Risposta di Ifrit
 
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