Equazione cartesiana del piano per tre punti non allineati

Question

In un esercizio di geometria dello spazio mi viene chiesto di determinare una rappresentazione cartesiana del piano passante per tre punti non allineati. Il mio professore mi ha consigliato di usare la condizione di appartenenza, ma come dovrei procedere in questi casi? Scrivere l'equazione del piano α passante per i punti: A(1,0,0), B(1,0,1), C(0,1,1) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Consideriamo la generica rappresentazione cartesiana del piano π: ax+by+cz+d = 0 Il nostro compito consiste nel ricavare i valori di a,b,c,d usando le informazioni fornite dalla traccia: sappiamo che i punti A(1,0,0), B(1,0,1), C(0,1,1) appartengono al piano. Prima di svolgere qualsiasi calcolo occorre verificare che i punti non siano allineati per garantire l'unicità del piano che li contiene. A,B,C non sono allineati se il vettore overrightarrowAB non è un multiplo di overrightarrowAC. Calcoliamo quindi le componenti di overrightarrowAB e di overrightarrowAC sottraendo alle coordinate del punto finale quelle del punto iniziale. ; overrightarrowAB = (x_(B),y_(B),z_(B))-(x_(A),y_(A),z_(A)) = (1,0,1)-(1,0,0) = (0,0,1) mentre ; overrightarrowAC = (x_(C),y_(C),z_(C))-(x_(A),y_(A),z_(A)) = (0,1,1)-(1,0,0) = (-1,1,1) Evidentemente overrightarrowAB e overrightarrowAC non sono l'uno il multiplo dell'altro, per cui A,B,C non sono allineati. Alla luce di ciò possiamo affermare che il piano π passante per A,B,C è unico. Per ricavarne l'equazione, possiamo avvalerci della cosiddetta condizione di appartenenza: un punto P appartiene a un piano α se e solo se le coordinate di P realizzano l'equazione di α. Imponiamo che A appartenga a π, ricavando così il primo vincolo sui coefficienti del piano. A(1,0,0)∈π → a·1+b·0+c·0+d = 0 da cui a+d = 0 Facciamo lo stesso con B: B(1,0,1)∈π → a·1+b·0+c·1+d = 0 ; a+c+d = 0 e con C C(0,1,1)∈ π → a·0+b·1+c·1+d = 0 ; b+c+d = 0 I tre vincoli devono valere contemporaneamente, per cui costituiscono il sistema lineare nelle incognite a,b,c,d a+d = 0 ; a+c+d = 0 ; b+c+d = 0 Procediamo con il metodo di sostituzione: dalla prima equazione esprimiamo a in termini di d e sostituiamo nelle altre a = -d ;-d+c+d = 0 ; b+c+d = 0 → a = -d ; c = 0 ; b+d = 0 Infine, dall'ultima esprimiamo b in termini di d a = -d ; c = 0 ; b = -d Le soluzioni del sistema sono le quadruple (a,b,c,d) dove: a = -d, b = -d, c = 0, d = d con d∈R di conseguenza, per d ne 0, possiamo scrivere: π : -dx+(-d)y+0·z+d = 0 → -dx-dy+d = 0 Raccogliendo a fattore comune e dividendo i due membri per-d, possiamo concludere che l'equazione del piano è: π: x+y-1 = 0