Soluzioni
  • Consideriamo la generica rappresentazione cartesiana del piano

    \pi: \ ax+by+cz+d=0

    Il nostro compito consiste nel ricavare i valori di a,b,c,d usando le informazioni fornite dalla traccia: sappiamo che i punti

    A(1,0,0), \ B(1,0,1), \ C(0,1,1)

    appartengono al piano. Prima di svolgere qualsiasi calcolo occorre verificare che i punti non siano allineati per garantire l'unicità del piano che li contiene.

    A,B,C non sono allineati se il vettore \overrightarrow{AB} non è un multiplo di \overrightarrow{AC}.

    Calcoliamo quindi le componenti di \overrightarrow{AB} e di \overrightarrow{AC} sottraendo alle coordinate del punto finale quelle del punto iniziale.

    \\ \overrightarrow{AB}=(x_{B},y_{B},z_{B})-(x_{A},y_{A},z_{A})=\\ \\ =(1,0,1)-(1,0,0)=(0,0,1)

    mentre

    \\ \overrightarrow{AC}=(x_{C},y_{C},z_{C})-(x_{A},y_{A},z_{A})=\\ \\ =(0,1,1)-(1,0,0)=(-1,1,1)

    Evidentemente \overrightarrow{AB}\ \mbox{e} \ \overrightarrow{AC} non sono l'uno il multiplo dell'altro, per cui A,B,C non sono allineati.

    Alla luce di ciò possiamo affermare che il piano \pi passante per A,B,C è unico. Per ricavarne l'equazione, possiamo avvalerci della cosiddetta condizione di appartenenza: un punto P appartiene a un piano \alpha se e solo se le coordinate di P realizzano l'equazione di \alpha.

    Imponiamo che A appartenga a \pi, ricavando così il primo vincolo sui coefficienti del piano.

    A(1,0,0)\in\pi \ \ \ \to \ \ \ a\cdot 1+b\cdot 0+c\cdot 0+d=0

    da cui 

    a+d=0

    Facciamo lo stesso con B:

    B(1,0,1)\in\pi \ \ \ \to \ \ \ a\cdot 1+b\cdot 0+c\cdot 1+d=0 \\ \\ a+c+d=0

    e con C

    C(0,1,1)\in \pi \ \ \ \to \ \ \ a\cdot 0+b\cdot 1+c\cdot 1+d=0 \\ \\ b+c+d=0

    I tre vincoli devono valere contemporaneamente, per cui costituiscono il sistema lineare nelle incognite a,b,c,d

    \begin{cases}a+d=0 \\ a+c+d=0\\ b+c+d=0\end{cases}

    Procediamo con il metodo di sostituzione: dalla prima equazione esprimiamo a in termini di d e sostituiamo nelle altre

    \begin{cases}a=-d\\ -d+c+d=0\\ b+c+d=0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}a=-d\\ c=0\\ b+d=0\end{cases}

    Infine, dall'ultima esprimiamo b in termini di d

    \begin{cases}a=-d\\ c=0\\ b=-d\end{cases}

    Le soluzioni del sistema sono le quadruple (a,b,c,d) dove:

    a=-d, \ b=-d, \ c=0, \ d=d \ \ \ \mbox{con} \ d\in\mathbb{R}

    di conseguenza, per d\ne 0, possiamo scrivere:

    \pi :\ -dx+(-d)y+0\cdot z+d=0 \ \ \ \to \ \ \ -dx-dy+d=0

    Raccogliendo a fattore comune e dividendo i due membri per -d, possiamo concludere che l'equazione del piano è:

    \pi: \ x+y-1=0

    Risposta di Ifrit
 
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