Calcolare un integrale definito per sostituzione
Mi spiegate come calcolare il seguente integrale definito per sostituzione? Ho iniziato a risolverlo per sostituzione poi ad un certo punto non so più come andare avanti.
![∫_(0)^(√(e^(2)-1))([5]√(ln(1+x^2))x)/(1+x^2)dx](/images/joomlatex/9/5/95a59dcb140823f5e22d235167703c44.gif)
Le mie difficoltà risiedono nel lavorare in modo corretto con la radice quinta del logaritmo presente nella funzione integranda. Grazie per l'aiuto.
![∫_(0)^(√(e^(2)-1))([5]√(log(1+x^2))x)/(1+x^2)dx = (•)](/images/joomlatex/f/d/fd3def3f01c00cb2a314e077a86c392d.gif)
si risolve effettivamente integrando per sostituzione.
Quella che conduce più velocemente al risultato è la sostituzione logaritmica
(vedi sostituzioni logaritmiche negli integrali).Il differenziale associato è
Attenzione, poiché l'integrale è definito e abbiamo effettuato una sostituzione, dobbiamo cambiare gli estremi di integrazione:
- a
associamo 
;- a
associamo 
Nota:
per la definizione stessa di logaritmo.L'integrale di partenza diventa
![(•) = ∫_(0)^(2)([5]√(t))/(2)dt =](/images/joomlatex/3/a/3a8d5aae8bf6ecd0ed229f92f7ddfd78.gif)
Per le proprietà degli integrali, ed in particolare per l'omogeneità dell'integrale possiamo trasportare fuori dal simbolo di integrazione la costante moltiplicativa
![= (1)/(2)∫_(0)^(2)[5]√(t)dt =](/images/joomlatex/d/5/d55640720f3f46e2a88b8cbd1f8aa686.gif)
Grazie alla definizione stessa di radicale, possiamo esprimere la radice quinta come una potenza con esponente fratto, in questo modo ci riconduciamo ad un integrale fondamentale con cui risolveremo una volta per tutte l'integrale
Non ci rimane che utilizzare la regola per l'integrale di una potenza.
![= (1)/(2)[(t^((1)/(5)+1))/((1)/(5)+1)]_(t = 0)^(t = 2) = (1)/(2)[(5)/(6)t^((6)/(5))]_(t = 0)^(2) = (5)/(3·2^((4)/(5)))](/images/joomlatex/8/8/8808de832acff010f856abaaa0f6c0f9.gif)
L'esercizio è terminato.
| MEDIE | Geometria | Algebra e Aritmetica | |||
| SUPERIORI | Algebra | Geometria | Analisi | Altro | |
| UNIVERSITÀ | Analisi | Algebra Lineare | Algebra | Altro | |
| EXTRA | Pillole | Wiki | |||