Immagine di una funzione composta su un intervallo

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Non riesco a determinare l'immagine di un intervallo mediante una funzione composta da più funzioni. Nella fattispecie ho l'intervallo [0,sqrt(pi/2)] della sequente funzione

 

f(x) = arctan((√(1+cos(x^2))))

 

Inizialmente mi calcolo la derivata dell argomento per vedere la monotonia, ma poi mi perdo nei calcoli. Come procedo? Come si risolve tale esercizio?

Grazie mille in anticipo

Domanda di latorre7

 
Soluzioni

  • Ciao Latorre7, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Personalmente, onde evitare una caterva di calcoli evitabili, :) farei riferimento a una variante teorema dei valori intermedi: una funzione f(x) continua su un intervallo [a,b] assume tutti i valori compresi tra f(a) e f(b).

    O meglio: l'immagine di un connesso mediante una funzione continua è un connesso.

    Altre considerazioni: la nostra funzione è una funzione composta

    f(x) = arctan((√(1+cos(x^2))))

    Andiamo per gradi di composizione: l'intervallo considerato è

    I = [0,√((π)/(2))]

    1) g(x) = x^2 è una funzione strettamente crescente su I

    2) h(x) = cos(x) è una funzione strettamente decrescente su g(I) = [0,(π)/(2)]

    3) i(x) = 1+x è una funzione strettamente crescente su h(g(I)) = [0,1]

    4) l(x) = √(x) è una funzione strettamente crescente su i(h(g(I))) = [1,2]

    5) m(x) = arctan(x) è una funzione strettamente crescente su l(i(h(g(I)))) = [1,√(2)]

    Morale: l'immagine di f(x) è

    m(l(i(h(g(I))))) = [(π)/(4),arctan((√(2)))]

    Se però questo metodo non ti garba, puoi procedere seguendo il modo standard per trovare l'immagine di una funzione. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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