Soluzioni
  • Consideriamo i vettori \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}, che nel riferimento ortonormale RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}) hanno componenti

    \\ \mathbf{u}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k} \\ \\ \mathbf{v}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}\\ \\ \mathbf{w}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}

    L'esercizio si compone essenzialmente di tre richieste. Ci viene chiesto di:

    - trovare il versore di \mathbf{u};

    - calcolare la componente ortogonale di \mathbf{v} su \mathbf{u};

    - determinare il volume del parallelepipedo di spigoli \mathbf{u},\mathbf{v}\ \mbox{e} \ \mathbf{w}.

    Versore di \mathbf{u}

    Per definizione, il versore di \mathbf{u} si ottiene moltiplicando \mathbf{u} per il reciproco della sua norma

    \mbox{vers}(\mathbf{u})=\frac{1}{||\mathbf{u}||}\mathbf{u}

    dove ||\mathbf{u}|| si ricava estraendo la radice quadrata della somma del quadrato delle componenti di \mathbf{u}

    ||\mathbf{u}||=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{14}

    Alla luce di ciò, il versore di \mathbf{u} è

    \\ \mbox{vers}(\mathbf{u})=\frac{1}{||\mathbf{u}||}\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{14}}(3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k})=\\ \\ \\ =\frac{3}{\sqrt{14}}\mathbf{i}-\frac{2}{\sqrt{14}}\mathbf{j}+\frac{1}{\sqrt{14}}\mathbf{k}

    Componente ortogonale di \mathbf{v} su \mathbf{u}

    In generale dati due vettori non nulli

    \\ \mathbf{v}=v_1\mathbf{i}+v_2\mathbf{j}+v_3\mathbf{k} \\ \\ \mathbf{u}=u_1\mathbf{i}+u_2\mathbf{j}+u_3\mathbf{k}

    la componente ortogonale di \mathbf{v} sul vettore \mathbf{u} è il vettore così definito

    \mbox{Pr}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{||\mathbf{u}||^2}\cdot\mathbf{u}

    in cui \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} è il prodotto scalare euclideo tra \mathbf{u}\ \mbox{e} \ \mathbf{v}

    \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=v_1u_1+v_2u_2+v_3u_3

    Dopo il richiamo teorico occupiamoci del problema: dobbiamo calcolare la componente ortogonale del vettore

    \mathbf{v}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}

    sul vettore

    \mathbf{u}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}

    ossia

    \\ \mbox{Pr}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{||\mathbf{u}||^2}\cdot\mathbf{u}=\\ \\ \\ =\frac{(3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k})\cdot (\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k})}{(\sqrt{14})^2} (3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k})= \\ \\ \\ =\frac{3\cdot 1+(-2)\cdot 2+1\cdot 2}{14}(3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k})= \\ \\ \\ =\frac{1}{14}(3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k})

    Svolgendo il prodotto scalare-vettore e semplificando, scopriamo che la componente ortogonale di \mathbf{v} su \mathbf{u} è

    \mbox{Pr}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})=\frac{3}{14}\mathbf{i}-\frac{1}{7}\mathbf{j}+\frac{1}{14}\mathbf{k}

    Volume del parallelepipedo: prodotto misto

    L'ultimo punto del problema ci chiede di calcolare il volume del parallelepipedo di spigoli i tre vettori e per farlo possiamo fare riferimento all'interpretazione geometrica di prodotto misto.

    In accordo con la teoria, il valore assoluto del prodotto misto di tre vettori non nulli e non complanari \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} coincide con il volume del parallelepipedo costruito sui tre vettori

    \mbox{Volume}=|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}|

    dove \mathbf{u}\times\mathbf{v} è il prodotto vettoriale tra \mathbf{u}\ \mbox{e} \ \mathbf{v}, che possiamo calcolare con il determinante della pseudomatrice che ha per prima riga \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, per seconda le componenti del vettore \mathbf{u} e per terza quelle di \mathbf{v}

    \\ \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mbox{det}\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 3&-2&1\\ 1&2&2\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =-6\mathbf{i}-5\mathbf{j}+8\mathbf{k}

    Sostituendo il risultato nella formula

    \mbox{Volume}=|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}|=

    ricaviamo

    \\ =|(-6\mathbf{i}-5\mathbf{j}+8\mathbf{k})\cdot (2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})|= \\ \\ =|(-6)\cdot 2+(-5)\cdot(-1)+8\cdot 2|=9

    Il volume del parallelepipedo è quindi \mbox{Volume}=9.

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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