Soluzioni
  • Una matrice quadrata a coefficienti complessi è una matrice normale se commuta, rispetto al prodotto tra matrici, con la sua matrice aggiunta.

    Volendo esprimere la definizione di matrice normale in formule, indicate con A una generica matrice quadrata definita in campo complesso e con A^* la sua matrice aggiunta, avremo

    A \mbox{ matrice normale } \iff A A^*=A^* A

    Esempio di matrice normale

    Verifichiamo che la seguente matrice di ordine 3:

    A=\begin{pmatrix}-i & -i & 0 \\ -i & i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

    è una matrice normale. Calcoliamo allora la matrice aggiunta di A che coincide con la trasposta coniugata. La matrice coniugata di A è

    \overline{A}=\begin{pmatrix}i & i & 0 \\ i & -i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

    che essendo una matrice simmetrica coincide con la trasposta. Allora

    A^*=(\overline{A})^T=\begin{pmatrix}i & i & 0 \\ i & -i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

    Per stabilire se A è effettivamente una matrice normale dobbiamo calcolare i due prodotti tra matrici A A^* \mbox{ e } A^* A e vedere se si ottiene la stessa matrice.

    AA^*=\begin{pmatrix}-i & -i & 0 \\ -i & i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i & i & 0 \\ i & -i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-i^2-i^2+0 & -i^2+i^2+0 & 0+0+0 \\ -i^2+i^2+0 & -i^2-i^2+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+1\end{pmatrix}=

    =\begin{pmatrix}-2i^2 & 0 & 0 \\ 0 & -2i^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

    dove, nell'ultimo passaggio, abbiamo utilizzato la definizione di unità immaginaria. Procedendo allo stesso modo (lascio a te il compito di svolgere i conti) si ottiene

    A^* A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

    La matrice A è quindi una matrice normale.

    Proprietà della matrice normale

    1) In generale la somma tra due matrici normali, così come il prodotto non è una matrice normale; se però A \mbox{ e } B sono due matrici normali tali che il loro prodotto riga per colonna gode della proprietà commutativa, allora A+B \mbox{ e } AB sono anch'esse due matrici normali.

    2) Tutte le matrici unitarie e tutte le matrici hermitiane ed antihermitiane sono matrici normali ma in generale non è vero il viceversa. Infatti la matrice A dell'esempio precedente sebbene sia una matrice normale non è né unitaria, né hermitiana, né antihermitiana.

    Questo esaurisce le tue domande. Per non lasciare spazio a dubbi ti invito a leggere le lezioni che man mano ti ho linkato. ;)

    Risposta di Galois
 
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