Soluzioni
  • Una matrice normale è una matrice quadrata a coefficienti complessi che commuta con la sua matrice aggiunta rispetto al prodotto tra matrici.

    Se indichiamo con A \in Mat(n,n,\mathbb{C}) una generica matrice quadrata definita in campo complesso e con A^* la sua matrice aggiunta, volendo esprimere la definizione di matrice normale in formule possiamo scrivere:

    A \mbox{ matrice normale } \iff A A^*=A^* A

    Per chi non se lo ricordasse, l'aggiunta A^* associata a una matrice A è la trasposta della matrice complessa coniugata \overline{A}, ossia

    A^*:=(\overline{A})^T

    Esempio

    La seguente matrice

    A=\begin{pmatrix}-i & -i & 0 \\ -i & i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

    è una matrice normale. Per verificarlo calcoliamo dapprima la matrice coniugata di A

    \overline{A}=\begin{pmatrix}i & i & 0 \\ i & -i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

    Essendo \overline{A} una matrice simmetrica, essa coincide con la sua trasposta (\overline{A})^T e dunque la matrice aggiunta di A è

    A^*:=(\overline{A})^T=\begin{pmatrix}i & i & 0 \\ i & -i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

    Per stabilire se A è effettivamente una matrice normale dobbiamo calcolare i due prodotti A A^* \mbox{ e } A^* A e verificare se si equivalgono.

    \\ AA^*=\begin{pmatrix}-i & -i & 0 \\ -i & i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i & i & 0 \\ i & -i & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}= \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}-i^2-i^2+0 & -i^2+i^2+0 & 0+0+0 \\ -i^2+i^2+0 & -i^2-i^2+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ =\begin{pmatrix}-2i^2 & 0 & 0 \\ 0 & -2i^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

    Nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato la definizione di unità immaginaria. Procedendo allo stesso modo, lasciamo a voi il compito di verificare che

    A^* A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

    Da cui ricaviamo che A è una matrice normale.

    Proprietà delle matrici normali

    1) In generale la somma tra matrici normali e il prodotto tra matrici normali non sono matrici normali.

    Se però A e B sono due matrici normali tali che il loro prodotto riga per colonna gode della proprietà commutativa, allora A+B e AB sono anch'esse matrici normali.

    2) Tutte le matrici unitarie e tutte le matrici hermitiane ed antihermitiane sono matrici normali, ma in generale non è vero il viceversa.

    A dimostrazione di ciò è sufficiente osservare che la matrice A del precedente esempio non è né unitaria, né hermitiana, né antihermitiana, sebbene sia una matrice normale.

    ***

    Con questo è tutto! In caso di dubbi vi invitiamo a usare la barra di ricerca interna. Se invece volete fare un ripasso dei principali tipi di matrici - click!

    Risposta di Galois
 
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