Matrice normale
Cos'è una matrice normale? Potreste scrivere la definizione di matrice normale, spiegarmela in parole semplici e mostrarmi un esempio?
Quali sono le proprietà di cui godono le matrici normali e che differenza c'è tra una matrice normale, una matrice unitaria e una matrice hermitiana?
Una matrice normale è una matrice quadrata a coefficienti complessi che commuta con la sua matrice aggiunta rispetto al prodotto tra matrici.
Se indichiamo con 
una generica matrice quadrata definita in campo complesso e con 
la sua matrice aggiunta, volendo esprimere la definizione di matrice normale in formule possiamo scrivere:
Per chi non se lo ricordasse, l'aggiunta associata a una matrice 
è la trasposta della matrice complessa coniugata 
, ossia
Esempio
La seguente matrice
![A = [−i −i 0 ;−i i 0 ; 0 0 1]](/images/joomlatex/c/2/c2cd2e10241cd0868f9972b985586145.gif)
è una matrice normale. Per verificarlo calcoliamo dapprima la matrice coniugata di
![A = [i i 0 ; i −i 0 ; 0 0 1]](/images/joomlatex/2/0/20a28c3ce1a2bef793de58acf159a9fe.gif)
Essendo una matrice simmetrica, essa coincide con la sua trasposta 
e dunque la matrice aggiunta di è
![A^*: = (A)^T = [i i 0 ; i −i 0 ; 0 0 1]](/images/joomlatex/c/a/cad8da057f436f8cdab70b30bc907f8d.gif)
Per stabilire se è effettivamente una matrice normale dobbiamo calcolare i due prodotti 
e verificare se si equivalgono.
![AA^* = [−i −i 0 ;−i i 0 ; 0 0 1][i i 0 ; i −i 0 ; 0 0 1] = [−i^2−i^2+0 −i^2+i^2+0 0+0+0 ;−i^2+i^2+0 −i^2−i^2+0 0+0+0 ; 0+0+0 0+0+0 0+0+1] = [−2i^2 0 0 ; 0 −2i^2 0 ; 0 0 1] = [2 0 0 ; 0 2 0 ; 0 0 1]](/images/joomlatex/e/c/ecdd8123e2160521220e0d24002444ac.gif)
Nell'ultimo passaggio abbiamo utilizzato la definizione di unità immaginaria. Procedendo allo stesso modo, lasciamo a voi il compito di verificare che
![A^* A = [2 0 0 ; 0 2 0 ; 0 0 1]](/images/joomlatex/9/1/91e399e3de38dff412444e8b243cbfeb.gif)
Da cui ricaviamo che è una matrice normale.
Proprietà delle matrici normali
1) In generale la somma tra matrici normali e il prodotto tra matrici normali non sono matrici normali.
Se però e 
sono due matrici normali tali che il loro prodotto riga per colonna gode della proprietà commutativa, allora 
e 
sono anch'esse matrici normali.
2) Tutte le matrici unitarie e tutte le matrici hermitiane ed antihermitiane sono matrici normali, ma in generale non è vero il viceversa.
A dimostrazione di ciò è sufficiente osservare che la matrice del precedente esempio non è né unitaria, né hermitiana, né antihermitiana, sebbene sia una matrice normale.
***
Con questo è tutto! In caso di dubbi vi invitiamo a usare la barra di ricerca interna. Se invece volete fare un ripasso dei principali tipi di matrici - click!