Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to0}\frac{e^{x-x^2}-\ln(1+x)-1}{x-\sin(x)}

    dobbiamo sviluppare in serie di Taylor-Mc Laurin le funzioni coinvolte. Possiamo tranquillamente appoggiarci agli sviluppi notevoli.

    Cominciamo dall'espansione della funzione esponenziale

    e^{t}=1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+o(t^3)

    valido nel momento in cui t\to0. Osserviamo che quando x\to0, la differenza x-x^2 tende a 0, dunque siamo autorizzati all'utilizzo dello sviluppo dell'esponenziale per costruire quello del termine e^{x-x^2}: basta rimpiazzare ad ogni occorrenza di t il polinomio x-x^2

    e^{x-x^2}=1+(x-x^2)+\frac{(x-x^2)^2}{2}+\frac{(x-x^2)^3}{6}+o((x-x^2)^3)=(\bullet)

    Prima di procedere con i calcoli, semplifichiamo l'o-piccolo sfruttando le proprietà di cui gode. Per x\to0 è garantita la validità della relazione asintotica

    (x-x^2)^3\sim_{x\to0}x^3

    conseguentemente l'o-piccolo diventa

    o((x-x^2)^3)=o(x^3)

    Tale scoperta permette di esprimere lo sviluppo (\bullet) come

    (\bullet)=1+(x-x^2)+\frac{(x-x^2)^2}{2}+\frac{(x-x^2)^3}{6}+o(x^3)=

    Poiché nell'o-piccolo compare la potenza terza di x, svolgeremo i calcoli trascurando tutti i termini che hanno grado superiore a 3

    =1+x-\frac{x^2}{2}-\frac{5x^3}{6}+o(x^3)

    Per quanto riguarda la funzione logaritmica, sappiamo che il suo sviluppo è

    \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)

    mentre lo sviluppo della funzione seno è

    \sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)

    Fatto ciò, non ci resta che sostituire gli sviluppi nel limite, trovando

    \lim_{x\to0}\frac{e^{x-x^2}-\ln(1+x)-1}{x-\sin(x)}=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{7}{6}x^3+o(x^3)}{\frac{x^3}{6}+o(x^3)}=

    Raccogliamo x^3 sia al numeratore che la denominatore

    =\lim_{x\to0}\frac{x^3\left(-\frac{7}{6}+o(1)\right)}{x^3\left(\frac{1}{6}+o(1)\right)}=

    semplifichiamo e scriviamo il risultato tenendo conto della definizione di o-piccolo di 1

    =\lim_{x\to0}\frac{-\frac{7}{6}+o(1)}{\frac{1}{6}+o(1)}=\frac{-\frac{7}{6}}{\frac{1}{6}}=-7

    Nota: nell'ultimo passaggio abbiamo espresso la frazione di frazioni in forma normale.

    Risposta di Ifrit
 
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