Limite con Taylor, esponenziale logaritmo e seno

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Devo calcolare il limite di una funzione fratta con esponenziale, logaritmo e seno. Mi è chiaro che il limite è una forma di indecisione, ma non ho idea sulla strategia da seguire per arrivare al risultato

 

lim_(x → 0)(e^(x-x^2)-ln(1+x)-1)/(x-sin(x))

 

Potreste aiutarmi? Grazie.

Domanda di Stefania93

 
Soluzioni

  • Per calcolare il limite

    lim_(x → 0)(e^(x-x^2)-ln(1+x)-1)/(x-sin(x))

    dobbiamo sviluppare in serie di Taylor-Mc Laurin le funzioni coinvolte. Possiamo tranquillamente appoggiarci agli sviluppi notevoli.

    Cominciamo dall'espansione della funzione esponenziale

    e^(t) = 1+t+(t^2)/(2)+(t^3)/(6)+o(t^3)

    valido nel momento in cui t → 0. Osserviamo che quando x → 0, la differenza x-x^2 tende a 0, dunque siamo autorizzati all'utilizzo dello sviluppo dell'esponenziale per costruire quello del termine e^(x-x^2): basta rimpiazzare ad ogni occorrenza di t il polinomio x-x^2

    e^(x-x^2) = 1+(x-x^2)+((x-x^2)^2)/(2)+((x-x^2)^3)/(6)+o((x-x^2)^3) = (•)

    Prima di procedere con i calcoli, semplifichiamo l'o-piccolo sfruttando le proprietà di cui gode. Per x → 0 è garantita la validità della relazione asintotica

    (x-x^2)^3 ~ _(x → 0)x^3

    conseguentemente l'o-piccolo diventa

    o((x-x^2)^3) = o(x^3)

    Tale scoperta permette di esprimere lo sviluppo (•) come

    (•) = 1+(x-x^2)+((x-x^2)^2)/(2)+((x-x^2)^3)/(6)+o(x^3) =

    Poiché nell'o-piccolo compare la potenza terza di x, svolgeremo i calcoli trascurando tutti i termini che hanno grado superiore a 3

    = 1+x-(x^2)/(2)-(5x^3)/(6)+o(x^3)

    Per quanto riguarda la funzione logaritmica, sappiamo che il suo sviluppo è

    ln(1+x) = x-(x^2)/(2)+(x^3)/(3)+o(x^3)

    mentre lo sviluppo della funzione seno è

    sin(x) = x-(x^3)/(6)+o(x^3)

    Fatto ciò, non ci resta che sostituire gli sviluppi nel limite, trovando

    lim_(x → 0)(e^(x-x^2)-ln(1+x)-1)/(x-sin(x)) = lim_(x → 0)(-(7)/(6)x^3+o(x^3))/((x^3)/(6)+o(x^3)) =

    Raccogliamo x^3 sia al numeratore che la denominatore

    = lim_(x → 0)(x^3(-(7)/(6)+o(1)))/(x^3((1)/(6)+o(1))) =

    semplifichiamo e scriviamo il risultato tenendo conto della definizione di o-piccolo di 1

    = lim_(x → 0)(-(7)/(6)+o(1))/((1)/(6)+o(1)) = (-(7)/(6))/((1)/(6)) = -7

    Nota: nell'ultimo passaggio abbiamo espresso la frazione di frazioni in forma normale.

    Risposta di Ifrit
 
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