Integrale definito di funzione fratta con modulo

Buon pomeriggio, devo calcolare l'integrale definito di una fratta con modulo, e non riesco a farlo. Potreste propormi la vostra soluzione al seguente integrale?

Integrale definito da -e a 0 di |x+1| / (4+x^2) dx.

Grazie anticipatamente!

Domanda di LinaBonfante
Soluzioni

Ciao LinaBonfante arrivo :D

Dammi solo qualche minuto in più ;)

Risposta di Ifrit

∫_(-e)^0 (|x+1|)/(4+x^2)dx

Abbiamo un valore assoluto, studiamo il segno dell'argomento e vediamo come si comporta nell'intervallo d'integrazione

[-e, 0]

x+1 ≥ 0 ⇔ x ≥ -1

Dunque la funzione integranda si riscrive come:

(|x+1|)/(4+x^2) = (x+1)/(4+x^2) se x∈ [-1, 0] ; (-x-1)/(4+x^2) se x∈ [-e,-1]

Per l'additività degli integrali definiti abbiamo che:

∫_(-e)^0 (|x+1|)/(4+x^2)dx = ∫_(-e)^(-1)(-x-1)/(4+x^2)dx+∫_(-1)^0(-x-1)/(4+x^2)dx

Concentriamoci sul primo integrele:

∫_(-e)^(-1)(-x-1)/(4+x^2)dx = 

Mettiamo in evidenza il segno:

-∫_(-e)^(-1)(x+1)/(4+x^2)dx

Benissimo a questo punto sfruttiamo la linearità dell'integrale:

-(∫_(-e)^(-1)(x)/(4+x^2)+(1)/(4+x^2)dx) =

-(∫_(-e)^(-1)(x)/(4+x^2)dx+∫_(-e)^(-1)(1)/(4+x^2)dx) =

Osserva che nel primo integrale dell'ultima espressione, il numeratore è la derivata del denominatore a meno di una costante moltiplicativa, infatti:

D[4+x^2] = 2x

Se avessimo un due al numeratore saremmo a posto! Non perdiamoci d'animo, è sufficiente moltiplicare e dividere per 2 nell'integrale e ottenere:

-((1)/(2)∫_(-e)^(-1)(2x)/(4+x^2)dx+∫_(-e)^(-1)(1)/(4+x^2)dx) =

Ottimo, il primo integrale è della forma

∫ (f'(x))/(f(x))dx = ln|f(x)|+c

Quindi (vedi la tabella degli integrali notevoli)

-((1)/(2)[ln|4+x^2|]_(-e)^(-1)+∫_(-e)^(-1)(1)/(4+x^2)dx) =

Il secondo integrale è praticamente immediato:

∫_(-e)^(-1)(1)/(4+x^2)dx) =

∫_(-e)^(-1)(1)/(4(1+(x^2)/(4)))dx) =

(1)/(4)∫_(-e)^(-1)(1)/((1+((x)/(2))^2))dx) =

Se avessimo 1/2 al numeratore avremmo un integrale della forma:

∫ (f'(x))/(1+f(x)^2)dx = arctan(f(x))+c 

Come prima moltiplichiamo e dividiamo per un mezzo di modo che si possa utilizzare la formula :D

(2)/(4)∫_(-e)^(-1)((1)/(2))/((1+((x)/(2))^2))dx) =

[(1)/(2)arctan((x)/(2))]_(-e)^(-1)

Mettendo assieme queste informazioni abbiamo che:

-∫_(-e)^(-1)(x+1)/(4+x^2)dx = -arctan(1/2)-1/2 arctan(e/2)-ln(5/4)+ln(1/5 (e^2+4))

A questo punto rimane da risolvere l'integrale:

∫_(-1)^0 (x+1)/(4+x^2)dx

i cui passaggi sono identici a quelli svolti, cambiano solo gli estremi :)

Risposta di Ifrit

Ok, Grazie mille. Ti faccio sapere se è tutto ok quando lo risolvo. 

Grazie.

Risposta di LinaBonfante

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