Soluzioni
  • Ciao LinaBonfante arrivo :D

    Dammi solo qualche minuto in più ;)

    Risposta di Ifrit
  • \int_{-e}^0 \frac{|x+1|}{4+x^2}dx

    Abbiamo un valore assoluto, studiamo il segno dell'argomento e vediamo come si comporta nell'intervallo d'integrazione

    [-e, 0]

    x+1\ge 0\iff x\ge -1

    Dunque la funzione integranda si riscrive come:

    \frac{|x+1|}{4+x^2}= \begin{cases}\frac{x+1}{4+x^2}&\mbox{ se } x\in [-1, 0]\\ \frac{-x-1}{4+x^2}&\mbox{ se }x\in [-e, -1]\end{cases}

    Per l'additività degli integrali definiti abbiamo che:

    \int_{-e}^0 \frac{|x+1|}{4+x^2}dx= \int_{-e}^{-1}\frac{-x-1}{4+x^2}dx+\int_{-1}^0\frac{-x-1}{4+x^2}dx

    Concentriamoci sul primo integrele:

    \int_{-e}^{-1}\frac{-x-1}{4+x^2}dx= 

    Mettiamo in evidenza il segno:

    -\int_{-e}^{-1}\frac{x+1}{4+x^2}dx

    Benissimo a questo punto sfruttiamo la linearità dell'integrale:

    -\left(\int_{-e}^{-1}\frac{x}{4+x^2}+\frac{1}{4+x^2}dx\right)=

    -\left(\int_{-e}^{-1}\frac{x}{4+x^2}dx+\int_{-e}^{-1}\frac{1}{4+x^2}dx\right)=

    Osserva che nel primo integrale dell'ultima espressione, il numeratore è la derivata del denominatore a meno di una costante moltiplicativa, infatti:

    D[4+x^2]= 2x

    Se avessimo un due al numeratore saremmo a posto! Non perdiamoci d'animo, è sufficiente moltiplicare e dividere per 2 nell'integrale e ottenere:

    -\left(\frac{1}{2}\int_{-e}^{-1}\frac{2x}{4+x^2}dx+\int_{-e}^{-1}\frac{1}{4+x^2}dx\right)=

    Ottimo, il primo integrale è della forma

    \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx= \ln|f(x)|+c

    Quindi (vedi la tabella degli integrali notevoli)

    -\left(\frac{1}{2}\left[ln|4+x^2|\right]_{-e}^{-1}+\int_{-e}^{-1}\frac{1}{4+x^2}dx\right)=

    Il secondo integrale è praticamente immediato:

    \int_{-e}^{-1}\frac{1}{4+x^2}dx\right)=

    \int_{-e}^{-1}\frac{1}{4\left(1+\frac{x^2}{4}\right)}dx\right)=

    \frac{1}{4}\int_{-e}^{-1}\frac{1}{\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)}dx\right)=

    Se avessimo 1/2 al numeratore avremmo un integrale della forma:

    \int \frac{f'(x)}{1+f(x)^2}dx= \arctan(f(x))+c 

    Come prima moltiplichiamo e dividiamo per un mezzo di modo che si possa utilizzare la formula :D

    \frac{2}{4}\int_{-e}^{-1}\frac{\frac{1}{2}}{\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^2\right)}dx\right)=

    \left[\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{-e}^{-1}

     

    Mettendo assieme queste informazioni abbiamo che:

    -\int_{-e}^{-1}\frac{x+1}{4+x^2}dx= -\arctan(1/2)-1/2 \arctan(e/2)-\ln(5/4)+\ln(1/5 (e^2+4))

    A questo punto rimane da risolvere l'integrale:

    \int_{-1}^0 \frac{x+1}{4+x^2}dx

    i cui passaggi sono identici a quelli svolti, cambiano solo gli estremi :)

    Risposta di Ifrit
  • Ok, Grazie mille. Ti faccio sapere se è tutto ok quando lo risolvo. 

    Grazie.

    Risposta di LinaBonfante
 
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