Soluzioni
  • Ciao Lorenzo arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Prima di iniziare avrei bisogno di una conferma. La successione è

    a_n= \frac{n-1}{n^2-1}

    Risposta di Ifrit
  • esatto :)

    Risposta di Lorenzo
  • esatto :)

    Risposta di Lorenzo
  • Ok, iniziamo subito :)

    a_n=\frac{n-1}{n^{2}-1}

    Osserviamo che la successione parte necessariamente da 2 perché per n=1 la successione perde di significato.

    Detto questo:

    n^2-1= (n+1)(n-1)

    di conseguenza:

    a_n=\frac{n-1}{n^2-1}= \frac{n-1}{(n-1)(n+1)}= \frac{1}{n+1}\quad \forall n\ge 2 

    Dimostriamo che è decrescente:

    n \textless n+1\quad \forall n\in \mathbb{N}_{\ge 2} conseguentemente invertendo membro a membro avremo:

    \frac{1}{n+1}\textless \frac{1}{n}

    Nota che al primo membro hai a_{n} mentre al secondo membro hai a_{n-1}

    quindi:

    \forall n\ge 2\quad a_{n}\textless a_{n-1} 

    cioè la successione è monotona decrescente.

    Il limite:

    \lim_{n\to \infty}a_n= \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1}=0

    quindi la successione è limitata. In particolare per n=2 abbiamo il massimo e vale:

    a_2 =\frac{1}{2+1}= \frac{1}{3}

    Mentre l'inf si ha per n\to \infty

    \inf a_n= 0

    Questo fatto è dovuto al teorema sui limite delle successioni monotone.

    Risposta di Ifrit
 
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