Soluzioni
  • Consideriamo l'integrale

    \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt{x}}dx

    e concentriamoci un momento sull'integranda

    f(x)=\frac{1}{x^2+\sqrt{x}}

    Essa è una funzione continua su (0, +\infty), perché composizione di funzioni continue.

    Non facciamoci spaventare troppo dalla funzione radice quadrata, cerchiamo invece di classificare gli eventuali punti singolari.

    Per x=0, il denominatore di f(x) si annulla e questo non è un bene: calcoliamo il limite per x\to 0 per capire con che tipo di discontinuità abbiamo a che fare.

    \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2+\sqrt{x}}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty

    Il limite è +infinito per via dell'algebra degli infiniti e infinitesimi, ed è questo risultato ad assicurarci che x=0 è un asintoto verticale, e che f(x) è una funzione illimitata nell'intervallo di integrazione.

    L'integrale dato dalla traccia presenta quindi problemi in x=0 e in +\infty. In queste situazioni conviene spezzare l'integrale come somma di integrali, ognuno dei quali presenta una e una sola problematica.

    Fissiamo x_0=1 e mediante le proprietà degli integrali scriviamo

    \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt{x}}dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^2+\sqrt{x}}dx+\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt{x}}dx

    Per semplificare l'esposizione diamo un nome ai due integrali:

    \\ I=\int_{0}^{1}\frac{1}{x^2+\sqrt{x}}dx\\ \\  J=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt{x}}dx

    e studiamo la convergenza dei due separatamente, cominciando dal primo.

    I è a tutti gli effetti un integrale improprio di seconda specie, perché il dominio di integrazione è limitato e, come abbiamo visto in precedenza, la funzione integranda è illimitata e possiamo analizzarne il carattere mediante i criteri di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie: particolarmente utile è il criterio del confronto asintotico.

    Determiniamo quindi una stima asintotica per l'integranda f(x), quando x\to 0.

    Come? Bisogna conoscere molto bene le proprietà delle equivalenze asintotiche. Osserviamo che quando x\to 0, \ x^2 è un infinitesimo di ordine superiore a \sqrt{x}, di conseguenza nella somma x^2+\sqrt{x}, l'addendo x^2 può essere trascurato.

    Possiamo quindi scrivere la seguente relazione asintotica

    x^2+\sqrt{x}\sim_{x\to 0}\sqrt{x}

    e dunque

    f(x)\sim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x}}

    Il criterio del confronto asintotico assicura che I ha lo stesso comportamento dell'integrale

    \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=

    che, esprimendo la radice in forma di potenza con esponente fratto si riscrive come:

    =\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}dx

    Quello ottenuto è un integrale improprio notevole di seconda specie convergente perché l'esponente è minore di 1, pertanto I converge.

    Occupiamoci dell'integrale J. Esso è un integrale improprio di prima specie perché l'intervallo di integrazione è illimitato e per analizzarne il carattere faremo affidamento sui criteri di convergenza per gli integrali impropri di prima specie.

    Utilizziamo ancora una volta il criterio del confronto asintotico, osservando che per x\to +\infty, \ x^2 è un infinito di ordine superiore rispetto a \sqrt{x}.

    Questa volta sussiste la relazione asintotica

    x^2+\sqrt{x}\sim_{x\to +\infty}x^2

    perché trascuriamo gli infiniti di ordine inferiore, e per f(x) vale la seguente equivalenza asintotica:

    \frac{1}{x^2+\sqrt{x}}\sim_{x\to +\infty}\frac{1}{x^2}

    Il criterio del confronto asintotico ci assicura che J ha lo stesso carattere del seguente integrale

    \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx

    che è un integrale improprio notevole di prima specie convergente perché l'esponente è maggiore di 1

    Finalmente possiamo concludere che l'integrale di partenza converge perché somma di integrali convergenti.

    Risposta di Ifrit
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