Soluzioni
  • Ciao Mafalda arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la serie 

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(1+n^{\alpha})}{\sqrt{n}}

     

    Studieremo la convergenza al variare di \alpha\in \mathbb{R}

    \alpha\textgreater 0

    Osserva che per n molto grande si ha che:

    1\le \ln(1+n^{\alpha})\mbox{ definitivamente}

    Quindi:

    \frac{1}{\sqrt{n}}\textless \frac{\ln(1+n^{\alpha})}{\sqrt{x}}

    Poiché la serie

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} diverge allora divergerà anche la serie di partenza per \alpha\textgreater 0

    Per \alpha=0 la serie si riduce a

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(2)}{\sqrt{n}}

    Che è divergente.

    Adesso procediamo per \alpha\textless 0

    in questo caso procederemo col criterio del confronto asintotito per le serie:

    Osserva infatti che se \alpha \textless 0 allora:

    \lim_{n\to \infty}n^{\alpha}=0 pertanto:

    \ln(1+n^{\alpha})\sim_{+\infty} n^{\alpha}

     

    Per il criterio del confronto asintotico si ha che:

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(1+n^{\alpha})}{\sqrt{n}}

    converge se e solo se:

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{\alpha}}{\sqrt{n}}=

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}-\alpha}}

    converge.

    Quest'ultima è una serie armonica generalizzata che converge se e solo se:

    \frac{1}{2}-\alpha\textgreater 0\implies \alpha \textless \frac{1}{2}

    Abbiamo concluso :)

    Risposta di Ifrit
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