Convergenza di una serie parametrica con logaritmo

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Sto riscontrando diversi problemi nello studio del carattere di una serie numerica con parametro e con logaritmo. Io sono praticamente certo che si debba usare il criterio del confronto asintotico per portare a termine l'esercizio. Potreste aiutarmi?

 

Determinare per quali valori del parametro reale α∈R è convergente la serie

 

Σ_(n = 1)^(+∞)(ln(1+n^(α)))/(√(n))

 

Grazie.

Domanda di Mafalda

 
Soluzioni

  • Per studiare il carattere della serie

    Σ_(n = 1)^(+∞)(ln(1+n^(α)))/(√(n))

    distingueremo i casi α < 0, α = 0, α > 0, a seconda dei quali interverranno diversi criteri di convergenza.

    Caso α < 0: criterio del confronto asintotico

    Per α < 0 useremo il criterio del confronto asintotico per le serie. Esso garantisce che due serie a termini positivi

    Σ_(n = 1)^(+∞)a_n e Σ_(n = 1)^(+∞)b_(n)

    hanno lo stesso comportamento se i loro termini generali sono successioni asintoticamente equivalenti, ossia se

    a_n ~ b_(n) per n → +∞

    Dopo questo preambolo, andiamo alla ricerca di una successione asintoticamente equivalente a

    a_n = (ln(1+n^(α)))/(√(n))

    Se α è negativo, il termine n^(α) è infinitesimo per n → +∞, e in accordo con la stima asintotica notevole del logaritmo

    ln(1+c_n) ~ c_n con c_n → 0

    possiamo scrivere la seguente:

    ln(1+n^(α)) ~ n^(α) per n → +∞, α < 0

    per cui

    (ln(1+n^(α)))/(√(n)) ~ (n^(α))/(n^((1)/(2))) = (1)/(n^((1)/(2)-α))

    Per il criterio del confronto asintotico, la serie

    Σ_(n = 1)^(+∞)(ln(1+n^(α)))/(√(n))

    ha il medesimo carattere della seguente

    Σ_(n = 1)^(+∞)(1)/(n^((1)/(2)-α))

    Se osserviamo bene, essa è una serie armonica generalizzata con esponente p = (1)/(2)-α e sappiamo essere convergente se e solo se p > 1, ossia se

    (1)/(2)-α > 1 → α < -(1)/(2)

    Se invece -(1)/(2) ≤ α < 0, la serie armonica diverge positivamente. Possiamo affermare che

    Σ_(n = 1)^(+∞)(ln(1+n^(α)))/(√(n))

    è convergente se α < -(1)/(2), mentre diverge positivamente per -(1)/(2) ≤ α < 0.

    Caso α = 0: serie armonica divergente

    Se α = 0, la serie di partenza diventa

    Σ_(n = 1)^(+∞)(ln(1+n^(0)))/(√(n)) = Σ_(n = 1)^(+∞)(ln(2))/(n^((1)/(2))) = ln(2)Σ_(n = 1)^(+∞)(1)/(n^((1)/(2)))

    Ci siamo ricondotti a una serie armonica generalizzata (a meno della costante moltiplicativa) con esponente p = (1)/(2), minore di 1, per cui è divergente.

    Caso α > 0: criterio del confronto semplice

    Studiamo il caso α > 0 con il criterio del confronto: è sufficiente osservare che per ogni n ≥ 1 vale la disuguaglianza

    2 ≤ 1+n^(α)

    Applicando il logaritmo membro a membro e dividendo in seguito per √(n) otterremo la relazione

    (ln(2))/(√(n)) ≤ (ln(1+n^(α)))/(√(n)) ∀ n ≥ 1

    Abbiamo già mostrato la divergenza della serie

    Σ_(n = 1)^(+∞)(ln(2))/(√(n))

    pertanto il criterio del confronto per le serie garantisce la divergenza di

    Σ_(n = 1)^(+∞)(ln(1+n^(α)))/(√(n)) ∀ α > 0

    Conclusioni

    Possiamo affermare che la serie

    Σ_(n = 1)^(+∞)(ln(1+n^(α)))/(√(n))

    converge se e solo se α < -(1)/(2), mentre diverge positivamente per α ≥ -(1)/(2).

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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