Espressioni letterali con i monomi

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Mi serve il vostro aiuto per risolvere un'espressione letterale a coefficienti fratti usando i prodotti notevoli. Da quello che ho capito, devo semplicemente usare la regola per il quadrato di un binomio e in seguito svolgere i calcoli, però il mio risultato è sbagliato.

 

Utilizzare i prodotti notevoli per semplificare la seguente espressione polinomiale

 

\left(\frac{1}{2}-1\right)^2+\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}x-3\right)^2+\frac{23}{4}

 

Grazie.

Domanda di bubu

 
Soluzioni

  • Per poter semplificare l'espressione con i polinomi

    \left(\frac{1}{2}-1\right)^2+\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}x-3\right)+\frac{23}{4}=

    bisogna sfruttare un particolare prodotto notevole: più precisamente ci tornerà utile la regola per il quadrato di un binomio.

    Iniziamo dalla prima coppia di parentesi tonde, nella quale compare la differenza di due frazioni: esprimiamo le frazioni a denominatore comune e portiamo a termine i conti.

    \\ =\left(\frac{1-2}{2}\right)^2+\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}x-3\right)^2+\frac{23}{4}= \\ \\ \\ =\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}x-3\right)+\frac{23}{4}=

    Eleviamo al quadrato la frazione ottenuta, prestando la massima attenzione ai segni

    =\frac{1}{4}+\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}x-3\right)^2+\frac{23}{4}=

    È giunto il momento di sviluppare il primo quadrato di binomio che - in accordo con la regola omonima - consente di scrivere l'espressione come segue:

    =\frac{1}{4}+x^2+2\cdot x\cdot \frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}x-3\right)^2+\frac{23}{4}=

    Usate le proprietà delle potenze per semplificare i termini, l'espressione diventa

    =\frac{1}{4}+x^2+3x+\frac{9}{4}-\left(\frac{1}{2}x-3\right)^2+\frac{23}{4}=

    Procediamo con lo sviluppo del quadrato di binomio rimasto

    \\ =\frac{1}{4}+x^2+3x+\frac{9}{4}-\left[\left(\frac{1}{2}x\right)^2-2\cdot \frac{1}{2}x\cdot 3+3^2\right]+\frac{23}{4}= \\ \\ \\ =\frac{1}{4}+x^2+3x+\frac{9}{4}-\left[\frac{1}{4}x^2-3x+9\right]+\frac{23}{4}=

    dopodiché sfruttiamo la regola dei segni per eliminare le parentesi quadre: fondamentalmente cambieremo i segni dei termini che stanno nelle parentesi.

    =\frac{1}{4}+x^2+3x+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}x^2+3x-9+\frac{23}{4}=

    Per finire, sommiamo i monomi simili e scriviamo il risultato

    \\ =\left(1-\frac{1}{4}\right)x^2+(3+3)x+\frac{1}{4}+\frac{9}{4}-9+\frac{23}{4}=\\ \\ \\ =\frac{3}{4}x^2+6x-\frac{3}{4}

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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