Soluzioni
  • Un secondo, il tempo di fare un controllino e arrivo a risponderti..

    Risposta di Omega
  • Vista e considerata la lunghezza richiesta dallo svolgimento completo, mi limito a fornirti il procedimento per la risoluzione dell'esercizio (per svolgimenti completi comprensivi di calcoli, nel caso di domande troppo lunghe, è richiesta la pubblicazione della domanda sul Forum).

    Va bene lo stesso se ci limitiamo al procedimento?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Si Si grazie lo stesso....magari se è un problema svolgerlo tutto puoi anche dirmi solo il primo punto giusto per avere un imput, altrimenti facciamo come dici tu (solo il procedimento)

    grazie lo stesso

    Risposta di CROSTY
  • Fissato nello spazio un riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, scrivere l'equazione del piano per il punto A(1,0,-1), parallelo alla retta r di equazioni (x=t , y= 2t, z= -t+1) e perpendicolare al piano  alfa: x-y-z=0.

    Trovare i punti di intersezione con l'asse x della sfera S di centro A e tangente al piano alfa.

    Per prima cosa, ricordiamo che l'equazione di un generico piano è della forma

    ax+by+cz+d=0

    dove (a,b,c) sono i parametri direttori del piano, cioè le componenti del vettore direzione della normale al piano stesso.

    Dato che il piano che cerchiamo, sia esso \pi, è perpendicolare al piano \chi\mbox{: }x-y-z=0, ciò implica che la normale al piano \chi, cioè (1,-1,-1) sia parallela al piano pi.

    Una direzione che genera il piano \pi è dunque (1,-1,-1).

    La seconda direzione che genera il piano \pi viene fornita dalle equazioni parametriche della retta r: (1,2,-1).

    La condizione di passaggio per il punto A, infine, ci permette di scrivere le equazioni parametriche del piano \pi: in forma vettoriale

    P=A+t(1,-1,-1)+s(1,2,-1)

    in forma scalare

    x=1+t+s

    x=-t+2s

    x=-1-t-s

    da qui puoi facilmente ricavare l'equazione cartesiana del piano \pi: ricava il parametro t dalla prima equazione; sostituiscine l'espressione nella seconda equazione, trovando così un'espressione per s; sostituisci entrambe le espressioni di t,s nella terza equazione, che ti fornisce quindi l'equazione cartesiana di \pi.

    Tutto chiaro fin qui?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • si grazie mille:)

    Risposta di CROSTY
  • Ok: dato che il piano tangente, per definizione, è tale che il raggio che congiunge il punto di tangenza al centro della sfera sia normale al piano tangente stesso, ci basta considerare la retta normale al piano \alpha (che nella precedente risposta ho chiamato \chi, poco importa) e passante per A.

    Questa retta può essere scritta in forma parametrica in modo molto semplice:

    P=A+tv

    dove v=(1,-1,-1) è la direzione della normale al piano \alpha.

    Mettendo a sistema le equazioni parametriche di tale retta con l'equazione cartesiana del piano \alpha, troviamo il punto di tangenza T tra piano e sfera.

    La distanza tra il punto A e il punto di tangenza è il raggio della sfera: si può calcolare con la solita formula per la distanza euclidea tra due punti 

    r=d(A,T)=\sqrt{(x_A-x_T)^2+(y_A-y_T)^2+(z_A-z_T)^2}

    a questo punto l'equazione cartesiana della sfera si determina come

    (x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2=r^2

    Namasté!

    Risposta di Omega
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