Soluzioni
  • Ciao Lorenzo arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la funzione:

    f(x)= \begin{cases}x^3+3&\mbox{ se }-3\le x\le 0\\ x^2+2&\mbox{ se }0\le x\le 3\\ -x+4&\mbox{ se }3\le x\textless 5\end{cases}

     

    E' una funzione definita a tratti continui, ma non continua, presenta infatti discontinuità a salto nei punti di giuntura.

    Osserviamo che:

    Per x\in[-3, 0] la funzione è x^3+3 che è continua in un chiuso e limitato, per Weierstrass ammette massimo e minimo. Studiando la derivata prima ci accorgiamo che è positiva per ogni x quindi la funzione è crescente in questo tratto, conseguentemente il massimo assoluto si ha per x=0

     e vale f(0)=3

    il minimo assoluto si ha per x=-3 e vale f(-3)=-24

    Nell'intervallo (0, 3] la funzione è x^2+2, è continua, inoltre è crescente e lo possiamo asserire grazie allo studio della derivata prima.

    Con ciò segue che la funzione ha inf per x\to 0, il massimo invece si ha per x=3 e vale:

    f(3)= 11

     

    Infine nel tratto:

    [3, 5) la funzione è -x+4 che è una funzione continua nell'intervallo considerato, è decrescente e di conseguenza:

    x=3 è un punto di massimo assoluto in [3, 5), il massimo vale -3+4=1

    L'inf invece vale \inf_{[5, 3)} f=\lim_{x\to 5}f(x)= -1

     

    Queste considerazioni ci permettono di concludere che la funzione ha massimo e minimo assoluti e sono f(3)=11 e f(-3)=-24

    Inoltre poiché la funzione è continua a  tratti, ed è limitata, abbiamo assicurata l'integrabilità :)

    Risposta di Ifrit
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