Soluzioni
  • Ciao Giuseppe11, benvenuto in YouMath! Laughing Arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Mi serve conferma sul testo: la funzione è questa qui?

    \log_{|x+2|}{\left(\arctan{(\sqrt{x^2-1})}-\arctan{(x)}\right)}

    Fammi sapere, così risolviamo subito...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Sì, confermo! Non riuscivo a scriverla così in questo contesto.

     

    Risposta di giuseppe11
  • Ok! :) Per prima cosa, le osservazioni cui fare riferimento sono presentate in questo articolo:

    https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/le-funzioni-da-r-a-r-in-generale/15-dominio-di-una-funzione-da-r-a-r-cose-come-si-trova-i-parte.html

    Qui le condizioni da richiedere sono:

    1) esistenza del logaritmo: la base deve essere positiva, ma essendovi un modulo dobbiamo solamente preoccuparci che non si annulli, quindi x\neq -2;

    2) esistenza del logaritmo (bis): l'argomento del logaritmo deve essere positivo strettamente, quindi 

    \arctan{(\sqrt{x^2-1})}-\arctan{(x)}>0

    cioè

    \arctan{(\sqrt{x^2-1})}>\arctan{(x)}

    cioè

    \sqrt{x^2-1}>x

    Questa disequazione è da risolvere con la procedura standard di risoluzione delle disequazioni irrazionali, presentata qui

    https://www.youmath.it/lezioni/algebra-elementare/disequazioni/192-disequazioni-irrazionali.html

    e ha risultato

    x\leq -1

    3) esistenza della radice: è sufficiente richiedere che il radicando sia non negativo (maggiore-uguale a zero), quindi

    x^2-1\geq 0

    da cui

    x\leq -1\vee x\geq +1

    4) Come ultima condizione, dobbiamo richiedere che

    \log{|x+2|}\neq 0

    ossia

    |x+2|\neq 1

    ossia

    x\neq -3\mbox{ }x\neq -1

    lo si vede riscrivendo la funzione nella forma equivalente

    f(x)=\frac{\log{(\arctan{\sqrt{x^2-1}})}-\arctan{(x)}}{\log{|x+2|}}

    Tutte le condizioni vanno messe a sistema, in quanto devono valere "contemporaneamente".

    Non è difficile vedere che il dominio della funzione è dato da

    Dom(f)=(-\infty,-3)\cup(-3,-2)\cup(-2,-1)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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